Flächen berechnen: Das Rechteck verstehen und anwenden

Darum geht's

Stell dir vor, du möchtest dein Zimmer mit einem neuen Teppich auslegen. Der Verkäufer fragt dich: “Wie gross ist denn dein Zimmer?” Du schaust auf den Boden. Aber wie beschreibst du diese Grösse?

Du könntest sagen: “Mein Zimmer ist etwa so gross wie vier Badetücher nebeneinander.” Oder: “Es passen ungefähr zwanzig Schulhefte auf den Boden.” Du vergleichst die Bodenfläche mit etwas Bekanntem.

Genau das machen wir in der Mathematik auch. Wir messen, wie viele kleine Quadrate auf eine Fläche passen. Diese kleinen Quadrate nennen wir Einheitsquadrate. Je mehr davon hineinpassen, desto grösser ist die Fläche. Das Rechteck ist dabei die einfachste und häufigste Form, die dir begegnet.

Eine kleine Zeitreise

Die Frage “Wie gross ist diese Fläche?” beschäftigt die Menschen schon seit Jahrtausenden. Kein Wunder: Wer Land besass, wollte wissen, wie viel davon er hatte.

Die alten Ägypter waren frühe Meister der Flächenberechnung. Jedes Jahr überschwemmte der Nil die Felder am Flussufer. Das Wasser brachte fruchtbaren Schlamm, aber es verwischte auch alle Grenzen zwischen den Feldern. Wenn das Wasser zurückwich, mussten die Ägypter die Felder neu ausmessen und die Grenzen wiederherstellen. Wer mehr Land hatte, zahlte mehr Steuern. Diese Notwendigkeit trieb die Entwicklung der Geometrie enorm voran. Das griechische Wort “Geometrie” bedeutet wörtlich übersetzt “Erdvermessung”.

Die Babylonier, die im heutigen Irak lebten, entwickelten schon um 2000 v. Chr. Formeln für Flächen. Auf Tontafeln, die Archäologen ausgegraben haben, stehen Aufgaben, die deinen heutigen Schulaufgaben verblüffend ähneln. Auch sie wollten wissen: Wie gross ist dieses Feld? Wie viel Getreide wächst darauf?

Euklid, ein griechischer Mathematiker, fasste das Wissen seiner Zeit um 300 v. Chr. in seinem Werk “Elemente” zusammen. Darin bewies er systematisch, wie man Flächen berechnet. Seine Methoden sind so grundlegend, dass wir sie noch heute benutzen.

Interessant ist, wie sich die Masseinheiten entwickelten. Früher mass man Felder in “Morgen” – das war die Fläche, die ein Bauer mit einem Ochsengespann in einem Morgen (einem Vormittag) pflügen konnte. Das war natürlich nicht überall gleich gross, denn verschiedene Böden liessen sich unterschiedlich schnell bearbeiten. Erst mit der Einführung des metrischen Systems Ende des 18. Jahrhunderts in Frankreich bekamen wir einheitliche Masseinheiten wie den Quadratmeter. Heute nutzen alle Wissenschaftler weltweit dieselben Einheiten. Das macht Vergleiche erst möglich.

Die Formel, die du heute lernst, ist also ein Ergebnis von Jahrtausenden menschlichen Nachdenkens. Sie ist so einfach, weil so viele kluge Menschen so lange daran gearbeitet haben.

Die Grundlagen

Bevor du rechnest, musst du das Rechteck genau kennen. Was macht ein Rechteck aus?

Definition

Ein Rechteck ist ein Viereck mit folgenden Eigenschaften:

• Es hat vier rechte Winkel (je $90°$).
• Die gegenüberliegenden Seiten sind gleich lang und parallel zueinander.
• Die längere Seite heisst Länge $a$.
• Die kürzere Seite heisst Breite $b$.

Ein Rechteck mit $a = b$ heisst Quadrat. Das Quadrat ist ein Sonderfall des Rechtecks.

Der Begriff “rechter Winkel” ist dabei entscheidend. Schau dir die Ecken eines Schulhefts an. Jede Ecke bildet einen rechten Winkel. Deshalb sind fast alle Zimmer, Tische, Bücher und Fenster rechteckig. Diese Form lässt sich einfach bauen und einfach berechnen.

Was ist eine Fläche?

Die Fläche ist der zweidimensionale Raum im Inneren einer Form. Stell dir vor, du würdest das Innere des Rechtecks mit Farbe ausmalen. Die bemalte Region ist die Fläche.

Um Flächen zu messen, brauchen wir ein Einheitsquadrat. Das ist ein Quadrat mit der Seitenlänge $1$. Wenn die Seitenlänge $1 \, \text{cm}$ beträgt, hat das Einheitsquadrat eine Fläche von $1 \, \text{cm}^2$ (ein Quadratzentimeter). Wenn die Seitenlänge $1 \, \text{m}$ beträgt, hat es eine Fläche von $1 \, \text{m}^2$ (ein Quadratmeter).

Die Fläche eines Rechtecks ist dann einfach die Anzahl solcher Einheitsquadrate, die hineinpassen.

Häufige Flächeneinheiten im Überblick:

Einheit	Abkürzung	Typisches Beispiel
Quadratmillimeter	$\text{mm}^2$	Stempelabdruck
Quadratzentimeter	$\text{cm}^2$	Fingernagel
Quadratdezimeter	$\text{dm}^2$	Schulheft
Quadratmeter	$\text{m}^2$	Badteppich
Ar	$\text{a}$	kleines Grundstück
Hektar	$\text{ha}$	grosses Feld

Die Kernmethode

Zurück zu deinem Zimmer. Es ist rechteckig, wie die meisten Räume. Eine Seite ist länger, die andere kürzer. Du legst kleine Quadrate auf den Boden und zählst.

In der ersten Reihe passen fünf Quadrate nebeneinander. Du legst eine zweite Reihe darüber. Wieder fünf. Dann eine dritte und eine vierte Reihe. Insgesamt hast du vier Reihen mit je fünf Quadraten.

Wie viele Quadrate liegen jetzt auf dem Boden? Du könntest alle einzeln zählen. Schneller geht es so: Fünf Quadrate mal vier Reihen ergibt zwanzig Quadrate. Das ist der Kern der Flächenberechnung. Statt zu zählen, multiplizierst du.

Definition

Die Fläche $A$ eines Rechtecks berechnest du mit der Formel:

$$A = a \cdot b$$

Dabei ist $a$ die Länge und $b$ die Breite des Rechtecks. Das Ergebnis hat immer eine Quadrat-Einheit (zum Beispiel $\text{cm}^2$ oder $\text{m}^2$).

Für das Quadrat mit Seitenlänge $a$ gilt der Sonderfall:

$$A = a \cdot a = a^2$$

Warum heisst es $\text{cm}^2$?

Du misst die Länge in $\text{cm}$ und die Breite in $\text{cm}$. Wenn du multiplizierst, multiplizierst du auch die Einheiten: $\text{cm} \cdot \text{cm} = \text{cm}^2$. Das Hochzeichen "$^2$" erinnert dich daran, dass du zwei Längen miteinander multipliziert hast. Aus einer Einheit wird eine Flächeneinheit.

So gehst du bei jeder Aufgabe vor:

1. Erkenne die Form. Ist es wirklich ein Rechteck?
2. Finde Länge $a$ und Breite $b$.
3. Prüfe die Einheiten. Beide müssen übereinstimmen.
4. Multipliziere: $A = a \cdot b$.
5. Schreibe das Ergebnis mit der richtigen Quadrat-Einheit.

Beispiel:

Beispiel 1: Ein einfaches Rechteck

Ein Rechteck hat die Länge $a = 6 \, \text{cm}$ und die Breite $b = 4 \, \text{cm}$. Berechne die Fläche.

Lösung:

Wir setzen die Werte in die Formel ein:

$$A = a \cdot b = 6 \, \text{cm} \cdot 4 \, \text{cm} = 24 \, \text{cm}^2$$

Die Fläche beträgt $24 \, \text{cm}^2$.

Zur Vorstellung: Zeichne ein Gitter mit 6 Spalten und 4 Reihen auf kariertes Papier. Zähle die Kästchen: Du bekommst genau 24 Stück. Die Rechnung $6 \cdot 4 = 24$ ersetzt das Zählen.

Beispiel:

Beispiel 2: Ein Rechteck mit Dezimalzahlen

Ein Tisch ist $1{,}2 \, \text{m}$ lang und $0{,}8 \, \text{m}$ breit. Wie gross ist die Tischplatte?

Lösung:

Das Vorgehen bleibt gleich, auch wenn Dezimalzahlen auftauchen.

$$A = a \cdot b = 1{,}2 \, \text{m} \cdot 0{,}8 \, \text{m} = 0{,}96 \, \text{m}^2$$

Die Tischplatte hat eine Fläche von $0{,}96 \, \text{m}^2$.

Zur Einordnung: Ein Quadratmeter wäre ein Quadrat mit $1 \, \text{m}$ Seitenlänge. Die Tischplatte ist etwas kleiner als das. Das klingt realistisch für einen normalen Esstisch.

Tipp bei Dezimalzahlen: Rechne zunächst ohne Dezimalkomma: $12 \cdot 8 = 96$. Dann zähle die Nachkommastellen beider Zahlen (hier: 1 + 1 = 2) und setze das Komma entsprechend: $0{,}96$.

Die häufigsten Stolpersteine

Beim Berechnen von Rechtecksflächen gibt es einige Fehler, die immer wieder vorkommen. Hier lernst du, sie zu vermeiden.

Achtung

Stolperstein 1: Die Einheit vergessen

Viele Schülerinnen und Schüler schreiben nur die Zahl hin. Aber $20$ ist nicht dasselbe wie $20 \, \text{cm}^2$. Ohne Einheit weiss niemand, ob du Quadratzentimeter, Quadratmeter oder Quadratkilometer meinst. Die Fläche einer Briefmarke ist etwa $4 \, \text{cm}^2$. Die Fläche eines Fussballfelds ist etwa $7000 \, \text{m}^2$. Der Unterschied ist gewaltig. Schreibe deshalb immer die vollständige Einheit mit dem Ergebnis hin.

Achtung

Stolperstein 2: Umfang und Fläche verwechseln

Der Umfang ist die Länge des Randes. Du addierst alle vier Seiten: $U = 2 \cdot (a + b)$. Die Fläche ist der Platz im Inneren. Du multiplizierst: $A = a \cdot b$. Beide Werte beschreiben dasselbe Rechteck, aber sie bedeuten etwas völlig anderes. Ein Rechteck mit $a = 10 \, \text{cm}$ und $b = 2 \, \text{cm}$ hat den Umfang $U = 24 \, \text{cm}$ und die Fläche $A = 20 \, \text{cm}^2$. Fläche und Umfang sind zwei verschiedene Dinge.

Achtung

Stolperstein 3: Verschiedene Einheiten mischen

Wenn Länge in Zentimetern und Breite in Metern angegeben sind, darfst du nicht einfach multiplizieren. Du musst zuerst umrechnen. Beispiel: $a = 150 \, \text{cm}$ und $b = 2 \, \text{m}$. Rechne zuerst um: $150 \, \text{cm} = 1{,}5 \, \text{m}$. Dann: $A = 1{,}5 \, \text{m} \cdot 2 \, \text{m} = 3 \, \text{m}^2$. Wenn du vergisst umzurechnen und rechnest $150 \cdot 2 = 300 \, \text{m}^2$, ist das Ergebnis massiv falsch.

Achtung

Stolperstein 4: Nur addieren statt multiplizieren

Manchmal verwechseln Schülerinnen und Schüler die Rechenoperation und addieren $a + b$ statt zu multiplizieren $a \cdot b$. Bei einem Rechteck mit $a = 5 \, \text{cm}$ und $b = 3 \, \text{cm}$ wäre $5 + 3 = 8$ falsch. Richtig ist $5 \cdot 3 = 15 \, \text{cm}^2$. Die Addition gibt dir nicht die Fläche, sondern die halbe Summe der Seiten.

Beispiel:

Beispiel 3: Eine Textaufgabe zum Anwenden

Familie Müller möchte ihren Garten neu bepflanzen. Der rechteckige Garten ist $12 \, \text{m}$ lang und $8 \, \text{m}$ breit. Ein Sack Rasensamen reicht für $10 \, \text{m}^2$. Wie viele Säcke braucht die Familie?

Lösung:

Schritt 1: Berechne die Fläche des Gartens.

$$A = 12 \, \text{m} \cdot 8 \, \text{m} = 96 \, \text{m}^2$$

Schritt 2: Berechne die Anzahl der benötigten Säcke.

$$\text{Anzahl} = \dfrac{96 \, \text{m}^2}{10 \, \text{m}^2} = 9{,}6$$

Schritt 3: Runde sinnvoll.

Du kannst keinen halben Sack kaufen. Also brauchst du $10$ Säcke Rasensamen.

Antwort: Familie Müller braucht $10$ Säcke Rasensamen.

Beispiel:

Beispiel 4: Einheiten umrechnen

Ein Schulkorridor ist $15 \, \text{m}$ lang und $180 \, \text{cm}$ breit. Wie gross ist die Bodenfläche in Quadratmetern?

Lösung:

Schritt 1: Einheiten angleichen. Die Breite ist in Zentimetern angegeben. Rechne sie in Meter um.

$$180 \, \text{cm} = 1{,}80 \, \text{m}$$

Schritt 2: Fläche berechnen.

$$A = 15 \, \text{m} \cdot 1{,}80 \, \text{m} = 27 \, \text{m}^2$$

Antwort: Die Bodenfläche des Korridors beträgt $27 \, \text{m}^2$.

Merke: Schritt 1 ist unverzichtbar. Wer direkt $15 \cdot 180 = 2700 \, \text{m}^2$ rechnet, erhält ein sinnloses Ergebnis – das wäre grösser als ein halbes Fussballfeld.

Vertiefung

Jetzt kennst du die Grundformel. Es gibt aber mehr zu entdecken. Hier lernst du, wie du die Formel auch rückwärts anwenden kannst und wie Flächen zusammenhängen.

Die Formel umformen

Du weisst: $A = a \cdot b$. Aber manchmal kennst du die Fläche und eine Seite und willst die andere Seite berechnen. Dann formst du die Formel um.

Definition

Aus der Grundformel $A = a \cdot b$ folgt durch Umstellen:

$$a = \dfrac{A}{b} \qquad \text{und} \qquad b = \dfrac{A}{a}$$

Du dividierst die bekannte Fläche durch die bekannte Seite, um die fehlende Seite zu berechnen.

Flächeneinheiten umrechnen

Manchmal musst du Flächeneinheiten ineinander umrechnen. Das ist etwas kniffliger als bei Längen, denn die Umrechnungszahlen sind grösser.

Bedenke: $1 \, \text{m} = 100 \, \text{cm}$. Aber $1 \, \text{m}^2 \neq 100 \, \text{cm}^2$. Stell dir ein Quadrat mit Seitenlänge $1 \, \text{m} = 100 \, \text{cm}$ vor. Seine Fläche beträgt:

$$A = 100 \, \text{cm} \cdot 100 \, \text{cm} = 10\,000 \, \text{cm}^2$$

Also gilt: $1 \, \text{m}^2 = 10\,000 \, \text{cm}^2$. Beim Umrechnen von Flächeneinheiten wird die Umrechnungszahl immer quadriert.

Zusammengesetzte Flächen

Nicht jede Form ist ein einfaches Rechteck. Manche Flächen bestehen aus mehreren Rechtecken. Du kannst sie in Teilflächen zerlegen, jede Teilfläche einzeln berechnen und dann addieren. Diese Strategie nennt man Zerlegungsprinzip.

Zusammenhang mit dem Umfang

Umfang und Fläche sind unabhängig voneinander. Zwei Rechtecke können denselben Umfang haben, aber unterschiedliche Flächen. Beispiel: Rechteck 1 hat $a = 9 \, \text{m}$, $b = 1 \, \text{m}$. Rechteck 2 hat $a = 5 \, \text{m}$, $b = 5 \, \text{m}$. Beide haben den Umfang $20 \, \text{m}$. Aber die Flächen sind $9 \, \text{m}^2$ und $25 \, \text{m}^2$. Das Quadrat hat bei gleichem Umfang die grösste Fläche.

Beispiel:

Beispiel 5: Eine zusammengesetzte Fläche

Ein L-förmiger Grundriss besteht aus zwei Rechtecken. Rechteck 1 ist $8 \, \text{m}$ lang und $4 \, \text{m}$ breit. Rechteck 2 ist $3 \, \text{m}$ lang und $2 \, \text{m}$ breit. Berechne die Gesamtfläche.

Lösung:

Schritt 1: Fläche von Rechteck 1 berechnen.

$$A_1 = 8 \, \text{m} \cdot 4 \, \text{m} = 32 \, \text{m}^2$$

Schritt 2: Fläche von Rechteck 2 berechnen.

$$A_2 = 3 \, \text{m} \cdot 2 \, \text{m} = 6 \, \text{m}^2$$

Schritt 3: Gesamtfläche addieren.

$$A_{\text{gesamt}} = A_1 + A_2 = 32 \, \text{m}^2 + 6 \, \text{m}^2 = 38 \, \text{m}^2$$

Antwort: Die Gesamtfläche beträgt $38 \, \text{m}^2$.

Merke: Das Zerlegungsprinzip funktioniert immer. Zerlege komplizierte Formen in einfache Rechtecke, berechne jedes einzeln und addiere die Ergebnisse.

Übungen

Hier sind zehn Aufgaben, die von einfach bis anspruchsvoll reichen. Löse sie schrittweise. Die Lösungen findest du am Ende des Artikels.

Aufgabe 1 (Einfach) Ein Rechteck hat die Länge $a = 5 \, \text{cm}$ und die Breite $b = 3 \, \text{cm}$. Berechne die Fläche.

Aufgabe 2 (Einfach) Ein Quadrat hat die Seitenlänge $a = 7 \, \text{cm}$. Berechne die Fläche.

Aufgabe 3 (Einfach) Ein Schulheft ist $29{,}7 \, \text{cm}$ lang und $21 \, \text{cm}$ breit. Wie gross ist die Vorderseite des Hefts?

Aufgabe 4 (Mittel) Ein Zimmer hat die Länge $a = 4 \, \text{m}$ und die Breite $b = 3{,}5 \, \text{m}$. Wie gross ist die Bodenfläche?

Aufgabe 5 (Mittel) Ein rechteckiges Schwimmbad ist $25 \, \text{m}$ lang und $10 \, \text{m}$ breit. Berechne die Wasserfläche in Quadratmetern.

Aufgabe 6 (Mittel) Ein Zimmer hat eine Fläche von $24 \, \text{m}^2$ und ist $6 \, \text{m}$ lang. Wie breit ist das Zimmer?

Aufgabe 7 (Mittel – Einheiten) Ein Flur ist $350 \, \text{cm}$ lang und $1{,}2 \, \text{m}$ breit. Berechne die Bodenfläche in Quadratmetern.

Aufgabe 8 (Anspruchsvoll) Ein Garten ist $20 \, \text{m}$ lang und $15 \, \text{m}$ breit. In der Mitte steht ein rechteckiges Blumenbeet mit der Länge $4 \, \text{m}$ und der Breite $3 \, \text{m}$. Wie gross ist die Rasenfläche rund um das Blumenbeet?

Aufgabe 9 (Anspruchsvoll) Bodenfliesen haben die Abmessungen $30 \, \text{cm} \times 30 \, \text{cm}$. Ein Bad hat eine Bodenfläche von $4{,}5 \, \text{m}^2$. Wie viele Fliesen werden mindestens benötigt?

Aufgabe 10 (Anspruchsvoll) Zwei Rechtecke haben denselben Umfang von $28 \, \text{cm}$. Rechteck A hat die Länge $a = 9 \, \text{cm}$. Rechteck B hat die Länge $a = 7 \, \text{cm}$. Berechne die Flächen beider Rechtecke. Welches Rechteck hat die grössere Fläche?

Das Wichtigste in Kürze

Das Rechteck ist eine der grundlegendsten geometrischen Formen. Es hat vier rechte Winkel und gegenüberliegende Seiten sind gleich lang. Die Fläche eines Rechtecks berechnest du mit der Formel $A = a \cdot b$. Das Ergebnis hat immer eine Quadrat-Einheit wie $\text{cm}^2$ oder $\text{m}^2$.

Achte auf drei Dinge: Erstens, schreibe immer die Einheit hin. Zweitens, verwechsle nicht Fläche und Umfang. Drittens, stelle sicher, dass Länge und Breite dieselbe Einheit haben, bevor du rechnest.

Die Formel lässt sich umstellen: Mit $a = \dfrac{A}{b}$ oder $b = \dfrac{A}{a}$ findest du eine fehlende Seite, wenn du Fläche und die andere Seite kennst. Bei zusammengesetzten Formen zerlegst du sie in Rechtecke, berechnest jedes einzeln und addierst.

Teste dein Wissen

❓ Frage: Ein Rechteck hat die Länge $a = 7 \, \text{cm}$ und die Breite $b = 3 \, \text{cm}$. Wie gross ist die Fläche?

Lösung anzeigen

Die Fläche beträgt $A = 7 \, \text{cm} \cdot 3 \, \text{cm} = 21 \, \text{cm}^2$.

❓ Frage: Ein quadratisches Fenster hat eine Seitenlänge von $80 \, \text{cm}$. Wie gross ist die Fensterfläche in $\text{cm}^2$?

Lösung anzeigen

Die Fläche beträgt $A = 80 \, \text{cm} \cdot 80 \, \text{cm} = 6400 \, \text{cm}^2$.

❓ Frage: Ein Zimmer hat eine Fläche von $20 \, \text{m}^2$ und ist $5 \, \text{m}$ lang. Wie breit ist das Zimmer?

Lösung anzeigen

Wir formen die Formel um: $b = \dfrac{A}{a} = \dfrac{20 \, \text{m}^2}{5 \, \text{m}} = 4 \, \text{m}$. Das Zimmer ist $4 \, \text{m}$ breit.

❓ Frage: Ein Rechteck hat die Länge $a = 300 \, \text{cm}$ und die Breite $b = 2 \, \text{m}$. Wie gross ist die Fläche in $\text{m}^2$?

Lösung anzeigen

Zuerst umrechnen: $300 \, \text{cm} = 3 \, \text{m}$. Dann: $A = 3 \, \text{m} \cdot 2 \, \text{m} = 6 \, \text{m}^2$.

❓ Frage: Ein Rechteck hat $a = 6 \, \text{cm}$ und $b = 4 \, \text{cm}$. Ein zweites Rechteck hat $a = 8 \, \text{cm}$ und $b = 3 \, \text{cm}$. Welches hat die grössere Fläche?

Lösung anzeigen

Rechteck 1: $A_1 = 6 \, \text{cm} \cdot 4 \, \text{cm} = 24 \, \text{cm}^2$. Rechteck 2: $A_2 = 8 \, \text{cm} \cdot 3 \, \text{cm} = 24 \, \text{cm}^2$. Beide Rechtecke haben gleich grosse Flächen.

Ausblick

Das Rechteck ist dein Einstieg in die Flächenberechnung. Als nächstes lernst du das Dreieck. Interessant: Die Fläche eines Dreiecks ist immer genau halb so gross wie die eines Rechtecks mit denselben Abmessungen. Auch Parallelogramme, Trapeze und Kreise haben eigene Formeln. Sie alle bauen auf dem Prinzip auf, das du hier gelernt hast. Wer Rechtecksflächen sicher beherrscht, hat das Fundament für alle weiteren Flächenberechnungen gelegt.

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 1

$$A = a \cdot b = 5 \, \text{cm} \cdot 3 \, \text{cm} = 15 \, \text{cm}^2$$

Die Fläche beträgt $15 \, \text{cm}^2$.

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Lösung zu Aufgabe 2

Ein Quadrat ist ein Sonderfall des Rechtecks mit $a = b$.

$$A = a \cdot a = 7 \, \text{cm} \cdot 7 \, \text{cm} = 49 \, \text{cm}^2$$

Die Fläche beträgt $49 \, \text{cm}^2$.

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Lösung zu Aufgabe 3

$$A = 29{,}7 \, \text{cm} \cdot 21 \, \text{cm} = 623{,}7 \, \text{cm}^2$$

Die Vorderseite des Hefts hat eine Fläche von $623{,}7 \, \text{cm}^2$.

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Lösung zu Aufgabe 4

$$A = 4 \, \text{m} \cdot 3{,}5 \, \text{m} = 14 \, \text{m}^2$$

Die Bodenfläche beträgt $14 \, \text{m}^2$.

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Lösung zu Aufgabe 5

$$A = 25 \, \text{m} \cdot 10 \, \text{m} = 250 \, \text{m}^2$$

Die Wasserfläche beträgt $250 \, \text{m}^2$.

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Lösung zu Aufgabe 6

Die Formel wird umgestellt: $b = \dfrac{A}{a}$.

$$b = \dfrac{24 \, \text{m}^2}{6 \, \text{m}} = 4 \, \text{m}$$

Das Zimmer ist $4 \, \text{m}$ breit.

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Lösung zu Aufgabe 7

Schritt 1: Einheiten angleichen. Die Länge in Meter umrechnen.

$$350 \, \text{cm} = 3{,}5 \, \text{m}$$

Schritt 2: Fläche berechnen.

$$A = 3{,}5 \, \text{m} \cdot 1{,}2 \, \text{m} = 4{,}2 \, \text{m}^2$$

Die Bodenfläche beträgt $4{,}2 \, \text{m}^2$.

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Lösung zu Aufgabe 8

Schritt 1: Fläche des gesamten Gartens berechnen.

$$A_{\text{Garten}} = 20 \, \text{m} \cdot 15 \, \text{m} = 300 \, \text{m}^2$$

Schritt 2: Fläche des Blumenbeets berechnen.

$$A_{\text{Beet}} = 4 \, \text{m} \cdot 3 \, \text{m} = 12 \, \text{m}^2$$

Schritt 3: Rasenfläche berechnen.

$$A_{\text{Rasen}} = A_{\text{Garten}} - A_{\text{Beet}} = 300 \, \text{m}^2 - 12 \, \text{m}^2 = 288 \, \text{m}^2$$

Die Rasenfläche beträgt $288 \, \text{m}^2$.

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Lösung zu Aufgabe 9

Schritt 1: Fläche einer Fliese berechnen.

$$A_{\text{Fliese}} = 30 \, \text{cm} \cdot 30 \, \text{cm} = 900 \, \text{cm}^2$$

Schritt 2: Badezimmerfläche in $\text{cm}^2$ umrechnen.

$$4{,}5 \, \text{m}^2 = 4{,}5 \cdot 10\,000 \, \text{cm}^2 = 45\,000 \, \text{cm}^2$$

Schritt 3: Anzahl der Fliesen berechnen.

$$\text{Anzahl} = \dfrac{45\,000 \, \text{cm}^2}{900 \, \text{cm}^2} = 50$$

Es werden mindestens $50$ Fliesen benötigt. (In der Praxis würde man etwas mehr kaufen, um Verschnitt einzuplanen.)

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Lösung zu Aufgabe 10

Beide Rechtecke haben den Umfang $U = 28 \, \text{cm}$. Daraus folgt: $2 \cdot (a + b) = 28 \, \text{cm}$, also $a + b = 14 \, \text{cm}$.

Rechteck A: $a = 9 \, \text{cm}$, also $b = 14 \, \text{cm} - 9 \, \text{cm} = 5 \, \text{cm}$.

$$A_A = 9 \, \text{cm} \cdot 5 \, \text{cm} = 45 \, \text{cm}^2$$

Rechteck B: $a = 7 \, \text{cm}$, also $b = 14 \, \text{cm} - 7 \, \text{cm} = 7 \, \text{cm}$.

$$A_B = 7 \, \text{cm} \cdot 7 \, \text{cm} = 49 \, \text{cm}^2$$

Rechteck B (das Quadrat) hat die grössere Fläche: $49 \, \text{cm}^2 > 45 \, \text{cm}^2$.

Beobachtung: Bei gleichem Umfang hat das Quadrat immer die grösste Fläche unter allen Rechtecken.