Flächen berechnen: Das Rechteck verstehen und anwenden

Stell dir vor, du möchtest dein Zimmer mit einem neuen Teppich auslegen. Der Verkäufer fragt dich: “Wie gross ist denn dein Zimmer?” Du schaust auf den Boden. Aber wie beschreibst du diese Grösse?

Du könntest sagen: “Mein Zimmer ist etwa so gross wie vier Badetücher nebeneinander.” Oder: “Es passen ungefähr zwanzig Schulhefte auf den Boden.” Du vergleichst die Bodenfläche mit etwas, das du kennst.

Genau das machen wir in der Mathematik auch. Wir messen, wie viele kleine Quadrate auf eine Fläche passen. Diese kleinen Quadrate nennen wir Einheitsquadrate. Je mehr davon hineinpassen, desto grösser ist die Fläche.

Von der Vorstellung zur Rechnung

Zurück zu deinem Zimmer. Es ist rechteckig, wie die meisten Räume. Eine Seite ist länger, die andere kürzer. Du legst kleine Quadrate auf den Boden und zählst.

In der ersten Reihe passen fünf Quadrate nebeneinander. Du legst eine zweite Reihe darüber. Wieder fünf. Dann eine dritte Reihe. Und eine vierte. Insgesamt hast du vier Reihen mit je fünf Quadraten.

Wie viele Quadrate liegen jetzt auf dem Boden? Du könntest alle einzeln zählen. Schneller geht es so: Fünf Quadrate mal vier Reihen ergibt zwanzig Quadrate.

Das ist der Trick bei der Flächenberechnung. Statt jedes Quadrat zu zählen, multiplizierst du einfach.

Die Formel für die Rechteckfläche

DEFINITION

Die Fläche $A$ eines Rechtecks berechnest du mit der Formel:

$$A = a \cdot b$$

Dabei ist $a$ die Länge und $b$ die Breite des Rechtecks.

Was bedeuten die Buchstaben?

• $A$ steht für “Area” (englisch für Fläche). Das ist das Ergebnis deiner Rechnung.
• $a$ ist die Länge des Rechtecks. Also die längere Seite.
• $b$ ist die Breite. Also die kürzere Seite.

Die Länge und Breite misst du in Einheiten wie Zentimeter (cm) oder Meter (m). Die Fläche hat dann eine “Quadrat-Einheit”. Zum Beispiel Quadratzentimeter ($\text{cm}^2$) oder Quadratmeter ($\text{m}^2$).

So stellst du dir die Rechnung vor

Stell dir vor, du zeichnest ein Gitter auf das Rechteck. Wie Kästchen auf kariertem Papier. Die Länge $a$ sagt dir, wie viele Kästchen in eine Reihe passen. Die Breite $b$ sagt dir, wie viele Reihen es gibt.

Du zählst also: Kästchen pro Reihe mal Anzahl der Reihen. Das ergibt die Gesamtzahl der Kästchen. Und diese Zahl ist deine Fläche.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

So gehst du bei jeder Aufgabe vor:

1. Erkenne die Form. Ist es wirklich ein Rechteck? Ein Rechteck hat vier rechte Winkel und gegenüberliegende Seiten sind gleich lang.

2. Finde Länge und Breite. Lies die Werte aus der Aufgabe oder miss sie ab. Achte auf die Einheit.

3. Prüfe die Einheiten. Länge und Breite müssen dieselbe Einheit haben. Falls nicht, rechne zuerst um.

4. Multipliziere. Rechne $a \cdot b$.

5. Schreibe das Ergebnis mit Einheit. Vergiss die Quadrat-Einheit nicht. Aus cm wird $\text{cm}^2$.

Häufiger Fehler: Die Einheit vergessen

Viele Schüler schreiben nur die Zahl hin. Aber $20$ ist nicht dasselbe wie $20 \, \text{cm}^2$. Ohne Einheit weiss niemand, ob du Quadratzentimeter, Quadratmeter oder Quadratkilometer meinst. Die Fläche einer Briefmarke ist etwa $4 \, \text{cm}^2$. Die Fläche eines Fussballfelds ist etwa $7000 \, \text{m}^2$. Der Unterschied ist gewaltig.

Häufiger Fehler: Umfang und Fläche verwechseln

Der Umfang ist die Länge des Randes. Du addierst alle Seiten. Die Fläche ist der Platz im Inneren. Du multiplizierst Länge und Breite. Beide Werte beschreiben dasselbe Rechteck, aber sie bedeuten etwas völlig anderes.

Beispiele

Beispiel 1: Ein einfaches Rechteck

Ein Rechteck hat die Länge $a = 6 \, \text{cm}$ und die Breite $b = 4 \, \text{cm}$. Berechne die Fläche.

Lösung:

Wir setzen die Werte in die Formel ein:

$$A = a \cdot b = 6 \, \text{cm} \cdot 4 \, \text{cm} = 24 \, \text{cm}^2$$

Die Fläche beträgt $24 \, \text{cm}^2$.

Beispiel:

Beispiel 2: Ein Rechteck mit Dezimalzahlen

Ein Tisch ist $1{,}2 \, \text{m}$ lang und $0{,}8 \, \text{m}$ breit. Wie gross ist die Tischplatte?

Lösung:

Wir rechnen mit Dezimalzahlen. Das Vorgehen bleibt gleich.

$$A = a \cdot b = 1{,}2 \, \text{m} \cdot 0{,}8 \, \text{m} = 0{,}96 \, \text{m}^2$$

Die Tischplatte hat eine Fläche von $0{,}96 \, \text{m}^2$. Das ist etwas weniger als ein Quadratmeter.

Beispiel:

Beispiel 3: Eine Textaufgabe zum Anwenden

Familie Meier möchte ihren Garten neu bepflanzen. Der rechteckige Garten ist $12 \, \text{m}$ lang und $8 \, \text{m}$ breit. Ein Sack Rasensamen reicht für $10 \, \text{m}^2$. Wie viele Säcke braucht die Familie?

Lösung:

Schritt 1: Berechne die Fläche des Gartens.

$$A = 12 \, \text{m} \cdot 8 \, \text{m} = 96 \, \text{m}^2$$

Schritt 2: Berechne die Anzahl der Säcke.

$$\text{Anzahl} = \frac{96 \, \text{m}^2}{10 \, \text{m}^2} = 9{,}6$$

Schritt 3: Runde sinnvoll.

Du kannst keinen halben Sack kaufen. Also brauchst du $10$ Säcke Rasensamen.

Spezialfall: Das Quadrat

Ein Quadrat ist ein besonderes Rechteck. Alle vier Seiten sind gleich lang. Deshalb gilt für das Quadrat mit Seitenlänge $a$:

$$A = a \cdot a = a^2$$

Daher kommt übrigens der Name “Quadratmeter” oder “Quadratzentimeter”. Ein Quadratmeter ist die Fläche eines Quadrats mit der Seitenlänge $1 \, \text{m}$.

Teste dein Wissen

❓ Frage: Ein Rechteck hat die Länge $a = 7 \, \text{cm}$ und die Breite $b = 3 \, \text{cm}$. Wie gross ist die Fläche?

Lösung anzeigen

Die Fläche beträgt $A = 7 \, \text{cm} \cdot 3 \, \text{cm} = 21 \, \text{cm}^2$.

❓ Frage: Ein quadratisches Fenster hat eine Seitenlänge von $80 \, \text{cm}$. Wie gross ist die Fensterfläche in $\text{cm}^2$?

Lösung anzeigen

Die Fläche beträgt $A = 80 \, \text{cm} \cdot 80 \, \text{cm} = 6400 \, \text{cm}^2$.

❓ Frage: Ein Zimmer hat eine Fläche von $20 \, \text{m}^2$ und ist $5 \, \text{m}$ lang. Wie breit ist das Zimmer?

Lösung anzeigen

Wir formen die Formel um: $b = \frac{A}{a} = \frac{20 \, \text{m}^2}{5 \, \text{m}} = 4 \, \text{m}$. Das Zimmer ist $4 \, \text{m}$ breit.