Parallelogramm: So berechnest du die Fläche

Darum geht's

Stell dir vor, du schiebst ein Rechteck zur Seite. Die obere Kante bleibt parallel zur unteren. Die Seitenwände kippen schräg. Was passiert mit der Fläche?

Genau das ist ein Parallelogramm. Es sieht aus wie ein “schiefes Rechteck”. Vielleicht kennst du diese Form von Schokoladentafeln, bestimmten Fliesen oder schräg gestellten Büchern im Regal.

Das Spannende: Die Fläche bleibt gleich gross wie beim ursprünglichen Rechteck. Warum? Die Antwort steckt in einem cleveren Gedankenexperiment mit Scheren und Dreiecken. Du lernst hier nicht nur die Formel, sondern verstehst auch, warum sie funktioniert. Dann vergisst du sie nie mehr.

Eine kleine Zeitreise

Die Geschichte des Parallelogramms reicht weit zurück. Menschen mussten schon immer Flächen berechnen. Felder vermessen, Steuern erheben, Tempel bauen.

Die alten Ägypter kannten schräge Vierecke bereits vor über 4000 Jahren. Der Papyrus Rhind aus dem Jahr 1650 v. Chr. zeigt Rechenaufgaben zu verschiedenen Flächenformen. Ägyptische Verwaltungsbeamte mussten die Grösse von Feldern entlang des Nils bestimmen. Diese Felder hatten selten perfekte rechteckige Formen.

Euklid von Alexandria brachte dann Ordnung in das Ganze. Um 300 v. Chr. schrieb er sein Werk “Elemente”. Darin bewies er systematisch, dass ein Parallelogramm dieselbe Fläche hat wie ein Rechteck mit gleicher Grundseite und gleicher Höhe. Sein Beweis nutzte genau den Trick, den du in diesem Artikel kennenlernst: das Zerschneiden und Verschieben von Dreiecken.

Das Wort “Parallelogramm” selbst kommt aus dem Griechischen. “Parallelos” bedeutet “nebeneinander” und “grammē” bedeutet “Linie”. Ein Parallelogramm ist also eine Figur mit parallelen Linien.

Im Mittelalter nutzten Baumeister dieses Wissen beim Bau von Kathedralen und Befestigungsanlagen. Schräge Wandflächen und Stützpfeiler hatten parallelogrammartige Querschnitte. Die genaue Berechnung der Materialmengen war überlebenswichtig.

Im 17. Jahrhundert erkannte René Descartes den Zusammenhang zwischen Geometrie und Algebra. Er zeigte, dass man Flächen mit Koordinaten berechnen kann. Für das Parallelogramm führte das später zur Kreuzproduktformel in der Vektorrechnung.

Heute begegnet dir das Parallelogramm überall. In der Architektur, im Maschinenbau, in der Computergrafik. Moderne Grafikprogramme berechnen jeden Tag Millionen von parallelogrammartigen Flächen. Die Grundlage dafür ist dieselbe Formel, die Euklid vor über 2000 Jahren bewiesen hat.

Du lernst also nicht einfach eine Schulformel. Du lernst Mathematik, die seit Jahrtausenden die Welt prägt.

Die Grundlagen

Bevor du die Flächenformel anwendest, musst du das Parallelogramm genau kennen. Was macht diese Form aus?

Definition

Ein Parallelogramm ist ein Viereck mit zwei Paaren paralleler Seiten.

Es gilt:

• Die gegenüberliegenden Seiten sind gleich lang und parallel zueinander.
• Die gegenüberliegenden Winkel sind gleich gross.
• Die Diagonalen halbieren sich gegenseitig.
• Benachbarte Winkel ergänzen sich zu $180°$.

Ein Parallelogramm hat im Allgemeinen keine rechten Winkel. Sonderformen mit rechten Winkeln sind das Rechteck und das Quadrat.

Das Parallelogramm hat zwei verschiedene Seitenpaare. Die längere Seite nennen wir oft die Grundseite $g$. Die kürzere, schräge Seite nennen wir Seite $a$.

Jede Seite hat eine zugehörige Höhe. Die Höhe $h_g$ gehört zur Grundseite $g$. Die Höhe $h_a$ gehört zur Seite $a$.

Die Höhe ist immer der senkrechte Abstand zwischen den parallelen Seiten. Sie steht im rechten Winkel zur Grundseite. Das ist der entscheidende Punkt.

Verwechsle nie die Höhe mit der schrägen Seite. Die schräge Seite ist länger als die Höhe. Sie zeigt nicht senkrecht nach oben. Die Höhe dagegen steht immer gerade. Wie ein Lotfaden, der genau senkrecht hängt.

Bei einem normalen Parallelogramm liegt die Höhe innerhalb der Figur. Bei einem sehr schiefen Parallelogramm kann die Höhe auch ausserhalb verlaufen. Das passiert, wenn die obere Seite weit über die untere Seite hinausragt. Die Formel gilt in beiden Fällen.

Die Kernmethode

Jetzt kommt der clevere Trick. Warum hat ein Parallelogramm dieselbe Fläche wie ein Rechteck mit gleicher Grundseite und Höhe?

Stell dir ein Parallelogramm vor. Auf der rechten Seite steht ein spitzes Dreieck über. Auf der linken Seite fehlt ein Dreieck. Schneidest du das überstehende Dreieck rechts ab und setzt es links an, entsteht ein Rechteck. Grundseite und Höhe bleiben dabei identisch. Also bleibt auch die Fläche gleich.

Diesen Vorgang nennt man in der Mathematik Scherung. Du scherst das Rechteck zur Seite. Die Form ändert sich. Die Fläche nicht.

Definition

Die Fläche $A$ eines Parallelogramms berechnest du mit:

$$A = g \cdot h$$

Dabei ist:

• $g$ = Grundseite (eine der parallelen Seiten)
• $h$ = Höhe (der senkrechte Abstand zwischen den parallelen Seiten)

Die Einheit der Fläche ist immer eine Quadrateinheit, zum Beispiel $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$ oder $\text{km}^2$.

Die Formel funktioniert mit jeder der vier Seiten als Grundseite. Wählst du die andere Seite als Grundseite, brauchst du die andere Höhe. Das Ergebnis bleibt gleich. Es gilt also:

$$A = g \cdot h_g = a \cdot h_a$$

Beide Berechnungen liefern dieselbe Fläche. Das kannst du nutzen, um deine Lösung zu überprüfen.

Beispiel:

Beispiel 1: Einfache Flächenberechnung

Ein Parallelogramm hat eine Grundseite von $8 \, \text{cm}$ und eine Höhe von $5 \, \text{cm}$.

Lösung:

Gegeben: $g = 8 \, \text{cm}$, $h = 5 \, \text{cm}$

Gesucht: Fläche $A$

Du setzt die Werte direkt in die Formel ein:

$$A = g \cdot h = 8 \, \text{cm} \cdot 5 \, \text{cm} = 40 \, \text{cm}^2$$

Antwort: Die Fläche des Parallelogramms beträgt $40 \, \text{cm}^2$.

Hinweis: Die schräge Seitenlänge spielt keine Rolle. Du brauchst sie nicht.

Beispiel:

Beispiel 2: Berechnung mit Dezimalzahlen

Ein Parallelogramm hat eine Grundseite von $g = 12{,}5 \, \text{m}$ und eine Höhe von $h = 4{,}8 \, \text{m}$.

Lösung:

Gegeben: $g = 12{,}5 \, \text{m}$, $h = 4{,}8 \, \text{m}$

Gesucht: Fläche $A$

Du setzt die Werte in die Formel ein:

$$A = g \cdot h = 12{,}5 \, \text{m} \cdot 4{,}8 \, \text{m}$$

Zur Berechnung nutzt du schriftliche Multiplikation:

$$12{,}5 \cdot 4{,}8 = 125 \cdot 0{,}48 = 60$$$$A = 60 \, \text{m}^2$$

Antwort: Die Fläche beträgt $60 \, \text{m}^2$.

Tipp: Bei Dezimalzahlen ist es hilfreich, zuerst ohne Komma zu rechnen und das Komma am Ende einzusetzen.

Die häufigsten Stolpersteine

In diesem Abschnitt lernst du die typischen Fehler kennen. Wenn du sie kennst, vermeidest du sie.

Achtung

Stolperstein 1: Die schräge Seite als Höhe nehmen

Das ist der häufigste Fehler überhaupt. Die schräge Seite sieht aus wie eine Höhe. Aber sie ist es nicht. Die schräge Seite zeigt diagonal. Die Höhe zeigt senkrecht.

Merke: Die Höhe bildet mit der Grundseite immer einen rechten Winkel (90°). Ohne rechten Winkel ist es keine Höhe.

Beispiel: Ein Parallelogramm hat $g = 10 \, \text{cm}$, schräge Seite $= 8 \, \text{cm}$ und Höhe $h = 6 \, \text{cm}$. Die richtige Fläche ist $10 \cdot 6 = 60 \, \text{cm}^2$, nicht $10 \cdot 8 = 80 \, \text{cm}^2$.

Achtung

Stolperstein 2: Die Einheit vergessen oder falsch schreiben

Flächen haben immer Quadrateinheiten. Aus $\text{cm} \cdot \text{cm}$ wird $\text{cm}^2$. Aus $\text{m} \cdot \text{m}$ wird $\text{m}^2$.

Schreibe nie einfach nur die Zahl ohne Einheit. Das gibt Punktabzug in der Prüfung. Und in der Praxis wäre es sinnlos. Eine Fläche von “40” bedeutet nichts. Eine Fläche von $40 \, \text{cm}^2$ ist klar.

Achtung

Stolperstein 3: Die falsche Höhe zur Grundseite wählen

Ein Parallelogramm hat zwei verschiedene Grundseiten und zwei verschiedene Höhen. Wählst du $g$ als Grundseite, brauchst du $h_g$. Wählst du $a$ als Grundseite, brauchst du $h_a$.

Du kannst nicht einfach irgendeine Grundseite mit irgendeiner Höhe multiplizieren. Die Höhe muss immer senkrecht auf der gewählten Grundseite stehen.

Manchmal gibt eine Aufgabe beide Seitenpaare und beide Höhen an. Dann musst du das richtige Paar wählen. Überprüfe immer den rechten Winkel.

Achtung

Stolperstein 4: Einheiten mischen

Was passiert, wenn $g$ in Zentimetern und $h$ in Millimetern angegeben ist? Dann musst du zuerst umrechnen. Erst dann kannst du multiplizieren.

Beispiel: $g = 5 \, \text{cm}$, $h = 30 \, \text{mm}$. Rechne zuerst um: $h = 3 \, \text{cm}$. Dann: $A = 5 \, \text{cm} \cdot 3 \, \text{cm} = 15 \, \text{cm}^2$.

Würdest du $5 \cdot 30 = 150$ rechnen und dann $\text{cm}^2$ schreiben, wäre das falsch. Das Ergebnis wäre zehnmal zu gross.

Beispiel:

Beispiel 3: Rückwärtsrechnen – die Höhe bestimmen

Ein Parallelogramm hat eine Fläche von $A = 72 \, \text{cm}^2$ und eine Grundseite von $g = 9 \, \text{cm}$. Wie gross ist die Höhe?

Lösung:

Gegeben: $A = 72 \, \text{cm}^2$, $g = 9 \, \text{cm}$

Gesucht: Höhe $h$

Stelle die Formel $A = g \cdot h$ nach $h$ um. Du dividierst beide Seiten durch $g$:

$$h = \dfrac{A}{g}$$

Setze die Werte ein:

$$h = \dfrac{72 \, \text{cm}^2}{9 \, \text{cm}} = 8 \, \text{cm}$$

Antwort: Die Höhe des Parallelogramms beträgt $8 \, \text{cm}$.

Überprüfung: $A = 9 \, \text{cm} \cdot 8 \, \text{cm} = 72 \, \text{cm}^2$ ✓

Beispiel:

Beispiel 4: Transferaufgabe – Flächenvergleich

Ein Rechteck hat die Masse $12 \, \text{cm} \times 7 \, \text{cm}$. Ein Parallelogramm hat dieselbe Grundseite von $12 \, \text{cm}$ und eine Höhe von $7 \, \text{cm}$. Welche Fläche ist grösser?

Lösung:

Rechteck:

$$A_{\text{Rechteck}} = l \cdot b = 12 \, \text{cm} \cdot 7 \, \text{cm} = 84 \, \text{cm}^2$$

Parallelogramm:

$$A_{\text{Parallelogramm}} = g \cdot h = 12 \, \text{cm} \cdot 7 \, \text{cm} = 84 \, \text{cm}^2$$

Antwort: Beide Flächen sind gleich gross. Sie betragen je $84 \, \text{cm}^2$.

Das zeigt das Prinzip der Scherung: Ein Parallelogramm mit gleicher Grundseite und gleicher Höhe hat dieselbe Fläche wie das zugehörige Rechteck. Die schräge Form ändert nichts an der Fläche.

Wichtig: Die schräge Seite des Parallelogramms ist länger als $7 \, \text{cm}$. Trotzdem ist die Fläche gleich.

Vertiefung

Du kennst jetzt die Grundformel. Jetzt gehen wir einen Schritt weiter. Dieser Abschnitt zeigt dir Zusammenhänge, die dein Verständnis vertiefen.

Das Parallelogramm und das Dreieck

Ein Dreieck ist die Hälfte eines Parallelogramms. Wenn du ein Parallelogramm entlang einer Diagonale halbierst, entstehen zwei kongruente Dreiecke. Daraus folgt:

$$A_{\text{Dreieck}} = \dfrac{g \cdot h}{2}$$

Das erklärt, warum die Dreiecksfläche so ähnlich aussieht wie die Parallelogrammfläche. Der Faktor $\dfrac{1}{2}$ kommt genau daher.

Sonderfälle des Parallelogramms

Definition

Das Parallelogramm ist die allgemeine Form. Besondere Parallelogramme sind:

• Rechteck: Parallelogramm mit vier rechten Winkeln. Die Höhe entspricht der Seite: $h = a$.
• Quadrat: Rechteck mit vier gleich langen Seiten. Fläche: $A = a^2$.
• Raute (Rhombus): Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten. Fläche: $A = g \cdot h$.

Bei allen diesen Formen gilt dieselbe Grundformel $A = g \cdot h$. Sie ist nur beim Rechteck einfacher, weil dort $h$ gleich der Seitenlänge ist.

Die Flächenformel mit Vektoren

In höheren Klassen lernst du Vektoren kennen. Dann kannst du die Fläche eines Parallelogramms auch so berechnen:

$$A = |\vec{a} \times \vec{b}|$$

Das ist das Kreuzprodukt zweier Vektoren. Es liefert automatisch die senkrechte Höhe. Für euch in der 7./8. Klasse ist das noch nicht nötig. Aber schön zu wissen, wohin die Reise geht.

Fläche berechnen, wenn nur Seiten und Winkel bekannt sind

Was tust du, wenn du die Höhe nicht kennst, aber einen Winkel? Dann nutzt du die Trigonometrie. Es gilt:

$$h = a \cdot \sin(\alpha)$$

Dabei ist $a$ die schräge Seite und $\alpha$ der eingeschlossene Winkel. Die vollständige Formel lautet dann:

$$A = g \cdot a \cdot \sin(\alpha)$$

Das lernst du später in der Trigonometrie. Es zeigt: Die einfache Formel $A = g \cdot h$ ist ein Spezialfall eines allgemeineren Prinzips.

Beispiel:

Beispiel 5: Vertiefung – Seiten und Winkel

Ein Parallelogramm hat eine Grundseite $g = 10 \, \text{cm}$, eine schräge Seite $a = 6 \, \text{cm}$ und einen eingeschlossenen Winkel von $\alpha = 30°$. Die Höhe berechnet sich zu $h = 6 \cdot \sin(30°) = 6 \cdot 0{,}5 = 3 \, \text{cm}$.

Lösung:

Gegeben: $g = 10 \, \text{cm}$, $a = 6 \, \text{cm}$, $\alpha = 30°$

Schritt 1: Berechne die Höhe mit der trigonometrischen Beziehung.

$$h = a \cdot \sin(\alpha) = 6 \, \text{cm} \cdot \sin(30°) = 6 \, \text{cm} \cdot 0{,}5 = 3 \, \text{cm}$$

Schritt 2: Berechne die Fläche.

$$A = g \cdot h = 10 \, \text{cm} \cdot 3 \, \text{cm} = 30 \, \text{cm}^2$$

Antwort: Die Fläche des Parallelogramms beträgt $30 \, \text{cm}^2$.

Hinweis: $\sin(30°) = 0{,}5$ ist ein häufig verwendeter Wert. Du wirst ihn später auswendig kennen.

Übungen

Diese Aufgaben sind nach Schwierigkeit geordnet. Beginne mit Aufgabe 1 und arbeite dich vor. Die Lösungen findest du am Ende des Artikels.

Grundstufe

Aufgabe 1: Ein Parallelogramm hat die Grundseite $g = 5 \, \text{cm}$ und die Höhe $h = 4 \, \text{cm}$. Berechne die Fläche.

Aufgabe 2: Ein Parallelogramm hat $g = 9 \, \text{m}$ und $h = 3 \, \text{m}$. Wie gross ist die Fläche?

Aufgabe 3: Ein Parallelogramm hat eine Fläche von $A = 48 \, \text{cm}^2$ und eine Grundseite von $g = 8 \, \text{cm}$. Berechne die Höhe.

Aufgabe 4: Ein Parallelogramm hat eine Fläche von $A = 120 \, \text{m}^2$ und eine Höhe von $h = 10 \, \text{m}$. Berechne die Grundseite.

Mittelstufe

Aufgabe 5: Ein Parallelogramm hat $g = 7{,}5 \, \text{cm}$, eine schräge Seite von $6 \, \text{cm}$ und eine Höhe von $h = 4{,}2 \, \text{cm}$. Berechne die Fläche.

Aufgabe 6: Ein Parallelogramm hat die Grundseite $g = 15 \, \text{cm}$ und die Höhe $h = 60 \, \text{mm}$. Berechne die Fläche in $\text{cm}^2$.

Aufgabe 7: Zwei Parallelogramme haben dieselbe Fläche von $60 \, \text{cm}^2$. Das erste hat $g_1 = 12 \, \text{cm}$. Das zweite hat $g_2 = 15 \, \text{cm}$. Berechne die Höhen $h_1$ und $h_2$.

Aufgabe 8: Ein Fussballfeld ist 105 m lang und 68 m breit. Ein Architekt plant ein parallelogrammförmiges Aussenfeld mit derselben Grundseite von 105 m und einer Höhe von 50 m. Um wieviel $\text{m}^2$ ist das neue Feld kleiner?

Oberstufe

Aufgabe 9: Ein Parallelogramm hat die Grundseite $g = 8 \, \text{cm}$ und die Seite $a = 5 \, \text{cm}$. Die Höhe zur Grundseite beträgt $h_g = 4 \, \text{cm}$. Berechne die Höhe $h_a$ zur Seite $a$, ohne die Fläche neu zu berechnen.

Aufgabe 10: Ein parallelogrammförmiges Gartenbeet hat eine Grundseite von $g = 3{,}6 \, \text{m}$ und eine Höhe von $h = 2{,}4 \, \text{m}$. Für jeden Quadratmeter Beet braucht man 2 kg Kompost. Wie viel Kilogramm Kompost braucht man insgesamt?

Das Wichtigste in Kürze

Das Parallelogramm ist ein Viereck mit zwei Paaren paralleler Seiten. Es sieht aus wie ein “schiefes Rechteck”. Die Formel für seine Fläche lautet $A = g \cdot h$.

Der Schlüssel zum Erfolg: Die Höhe richtig erkennen. Die Höhe steht immer senkrecht zur Grundseite. Sie ist nicht die schräge Seite.

Schere das Parallelogramm gedanklich: Schneide das überstehende Dreieck ab und setze es gegenüber an. Es entsteht ein Rechteck. Grundseite und Höhe bleiben gleich. Also bleibt die Fläche gleich.

Du kannst jede Seite als Grundseite wählen. Die Höhe muss zur gewählten Grundseite passen. Vergiss die Einheit nicht: Flächen werden in Quadrateinheiten angegeben.

Quiz

❓ Frage: Ein Parallelogramm hat $g = 6 \, \text{cm}$ und $h = 7 \, \text{cm}$. Wie gross ist die Fläche?

Lösung anzeigen

$$A = g \cdot h = 6 \, \text{cm} \cdot 7 \, \text{cm} = 42 \, \text{cm}^2$$

Die Fläche beträgt $42 \, \text{cm}^2$.

❓ Frage: Die Fläche eines Parallelogramms beträgt $100 \, \text{m}^2$. Die Grundseite ist $20 \, \text{m}$ lang. Wie hoch ist das Parallelogramm?

Lösung anzeigen

Stelle die Formel nach $h$ um:

$$h = \dfrac{A}{g} = \dfrac{100 \, \text{m}^2}{20 \, \text{m}} = 5 \, \text{m}$$

Die Höhe beträgt $5 \, \text{m}$.

❓ Frage: Ein Parallelogramm hat eine Grundseite von $15 \, \text{cm}$, eine schräge Seite von $10 \, \text{cm}$ und eine Höhe von $8 \, \text{cm}$. Welchen Wert brauchst du NICHT für die Flächenberechnung?

Lösung anzeigen

Die schräge Seite ($10 \, \text{cm}$) wird nicht benötigt. Für die Fläche brauchst du nur Grundseite und Höhe:

$$A = 15 \, \text{cm} \cdot 8 \, \text{cm} = 120 \, \text{cm}^2$$

Die schräge Seite ist in der Flächenformel $A = g \cdot h$ nicht enthalten.

❓ Frage: Du scherst ein Rechteck mit $l = 10 \, \text{cm}$ und $b = 4 \, \text{cm}$ zu einem Parallelogramm. Die Grundseite bleibt gleich, die Höhe bleibt gleich. Wie gross ist die Fläche des Parallelogramms?

Lösung anzeigen

Durch Scherung bleibt die Fläche gleich:

$$A_{\text{Parallelogramm}} = A_{\text{Rechteck}} = 10 \, \text{cm} \cdot 4 \, \text{cm} = 40 \, \text{cm}^2$$

Das Scherungsprinzip besagt: Gleiche Grundseite und gleiche Höhe bedeuten gleiche Fläche.

❓ Frage: Ein Parallelogramm hat die Grundseite $g = 9 \, \text{cm}$ und die Seite $a = 6 \, \text{cm}$. Die Höhe zur Grundseite ist $h_g = 4 \, \text{cm}$. Wie gross ist die Höhe $h_a$ zur Seite $a$?

Lösung anzeigen

Beide Berechungen müssen dieselbe Fläche ergeben. Zuerst berechne die Fläche:

$$A = g \cdot h_g = 9 \, \text{cm} \cdot 4 \, \text{cm} = 36 \, \text{cm}^2$$

Dann stelle nach $h_a$ um:

$$h_a = \dfrac{A}{a} = \dfrac{36 \, \text{cm}^2}{6 \, \text{cm}} = 6 \, \text{cm}$$

Die Höhe zur Seite $a$ beträgt $6 \, \text{cm}$.

Ausblick

Das Parallelogramm ist der Schlüssel zu vielen weiteren Flächenformeln. Das Dreieck ist die Hälfte eines Parallelogramms. Die Trapezfläche baut ebenfalls auf diesem Prinzip auf. Und die Raute ist ein Sonderfall des Parallelogramms.

In der 9. und 10. Klasse lernst du Vektoren kennen. Dort wirst du die Parallelogrammfläche über das Kreuzprodukt berechnen. Die Grundidee bleibt dieselbe.

Auch in der Trigonometrie triffst du das Parallelogramm wieder. Dann berechnest du die Höhe aus Seitenlänge und Winkel. Das Fundament, das du hier gelegt hast, trägt dich weit.

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 1:

Gegeben: $g = 5 \, \text{cm}$, $h = 4 \, \text{cm}$

$$A = g \cdot h = 5 \, \text{cm} \cdot 4 \, \text{cm} = 20 \, \text{cm}^2$$

Die Fläche beträgt $20 \, \text{cm}^2$.

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Lösung zu Aufgabe 2:

Gegeben: $g = 9 \, \text{m}$, $h = 3 \, \text{m}$

$$A = g \cdot h = 9 \, \text{m} \cdot 3 \, \text{m} = 27 \, \text{m}^2$$

Die Fläche beträgt $27 \, \text{m}^2$.

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Lösung zu Aufgabe 3:

Gegeben: $A = 48 \, \text{cm}^2$, $g = 8 \, \text{cm}$

Stelle die Formel nach $h$ um:

$$h = \dfrac{A}{g} = \dfrac{48 \, \text{cm}^2}{8 \, \text{cm}} = 6 \, \text{cm}$$

Die Höhe beträgt $6 \, \text{cm}$.

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Lösung zu Aufgabe 4:

Gegeben: $A = 120 \, \text{m}^2$, $h = 10 \, \text{m}$

Stelle die Formel nach $g$ um:

$$g = \dfrac{A}{h} = \dfrac{120 \, \text{m}^2}{10 \, \text{m}} = 12 \, \text{m}$$

Die Grundseite beträgt $12 \, \text{m}$.

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Lösung zu Aufgabe 5:

Gegeben: $g = 7{,}5 \, \text{cm}$, $h = 4{,}2 \, \text{cm}$ (schräge Seite wird nicht benötigt)

$$A = g \cdot h = 7{,}5 \, \text{cm} \cdot 4{,}2 \, \text{cm} = 31{,}5 \, \text{cm}^2$$

Die Fläche beträgt $31{,}5 \, \text{cm}^2$.

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Lösung zu Aufgabe 6:

Gegeben: $g = 15 \, \text{cm}$, $h = 60 \, \text{mm}$

Zuerst die Einheit umrechnen: $h = 60 \, \text{mm} = 6 \, \text{cm}$

$$A = g \cdot h = 15 \, \text{cm} \cdot 6 \, \text{cm} = 90 \, \text{cm}^2$$

Die Fläche beträgt $90 \, \text{cm}^2$.

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Lösung zu Aufgabe 7:

Gegeben: $A = 60 \, \text{cm}^2$, $g_1 = 12 \, \text{cm}$, $g_2 = 15 \, \text{cm}$

Für das erste Parallelogramm:

$$h_1 = \dfrac{A}{g_1} = \dfrac{60 \, \text{cm}^2}{12 \, \text{cm}} = 5 \, \text{cm}$$

Für das zweite Parallelogramm:

$$h_2 = \dfrac{A}{g_2} = \dfrac{60 \, \text{cm}^2}{15 \, \text{cm}} = 4 \, \text{cm}$$

Die Höhen betragen $h_1 = 5 \, \text{cm}$ und $h_2 = 4 \, \text{cm}$.

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Lösung zu Aufgabe 8:

Fläche des Fussballfelds:

$$A_{\text{Feld}} = 105 \, \text{m} \cdot 68 \, \text{m} = 7140 \, \text{m}^2$$

Fläche des parallelogrammförmigen Aussenfelds:

$$A_{\text{Para}} = 105 \, \text{m} \cdot 50 \, \text{m} = 5250 \, \text{m}^2$$

Differenz:

$$\Delta A = 7140 \, \text{m}^2 - 5250 \, \text{m}^2 = 1890 \, \text{m}^2$$

Das neue Feld ist um $1890 \, \text{m}^2$ kleiner.

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Lösung zu Aufgabe 9:

Gegeben: $g = 8 \, \text{cm}$, $a = 5 \, \text{cm}$, $h_g = 4 \, \text{cm}$

Zuerst die Fläche berechnen:

$$A = g \cdot h_g = 8 \, \text{cm} \cdot 4 \, \text{cm} = 32 \, \text{cm}^2$$

Dann $h_a$ berechnen. Es gilt $A = a \cdot h_a$, also:

$$h_a = \dfrac{A}{a} = \dfrac{32 \, \text{cm}^2}{5 \, \text{cm}} = 6{,}4 \, \text{cm}$$

Die Höhe zur Seite $a$ beträgt $6{,}4 \, \text{cm}$.

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Lösung zu Aufgabe 10:

Gegeben: $g = 3{,}6 \, \text{m}$, $h = 2{,}4 \, \text{m}$, $2 \, \text{kg}$ pro $\text{m}^2$

Zuerst die Fläche des Gartenbeetes:

$$A = g \cdot h = 3{,}6 \, \text{m} \cdot 2{,}4 \, \text{m} = 8{,}64 \, \text{m}^2$$

Dann die Menge Kompost:

$$m = A \cdot 2 \, \dfrac{\text{kg}}{\text{m}^2} = 8{,}64 \, \text{m}^2 \cdot 2 \, \dfrac{\text{kg}}{\text{m}^2} = 17{,}28 \, \text{kg}$$

Man braucht $17{,}28 \, \text{kg}$ Kompost.