Parallelogramm: So berechnest du die Fläche

Stell dir vor, du schiebst ein Rechteck zur Seite. Die obere Kante bleibt parallel zur unteren. Die Seitenwände kippen schräg. Was passiert mit der Fläche?

Genau das ist ein Parallelogramm. Es sieht aus wie ein “schiefes Rechteck”. Vielleicht kennst du diese Form von Schokoladentafeln oder bestimmten Fliesen.

Das Spannende: Die Fläche bleibt gleich gross wie beim ursprünglichen Rechteck. Warum? Das klären wir jetzt.

Vom Rechteck zum Parallelogramm

Beim Rechteck ist die Sache klar: Länge mal Breite ergibt die Fläche. Aber beim Parallelogramm sind die Seiten schräg. Können wir trotzdem so einfach rechnen?

Ja, mit einem Trick. Stell dir vor, du schneidest das überstehende Dreieck auf einer Seite ab. Dieses Dreieck setzt du auf der anderen Seite wieder an. Plötzlich hast du wieder ein Rechteck.

Die Grundseite bleibt dabei gleich. Die Höhe auch. Also bleibt auch die Fläche gleich.

Die Formel für die Fläche

DEFINITION

Die Fläche $A$ eines Parallelogramms berechnest du mit:

$$A = g \cdot h$$

Dabei ist:

• $g$ = Grundseite (eine der parallelen Seiten)
• $h$ = Höhe (der senkrechte Abstand zwischen den parallelen Seiten)

Die Formel sieht aus wie beim Rechteck. Der wichtige Unterschied liegt in der Höhe $h$. Diese misst nicht entlang der schrägen Seite. Sie misst senkrecht von einer Grundseite zur anderen.

Was bedeutet “Höhe” genau?

Die Höhe ist der kürzeste Weg zwischen den beiden parallelen Seiten. Du kannst sie dir wie eine Leiter vorstellen, die gerade nach oben zeigt.

Wichtig: Die Höhe steht immer im rechten Winkel zur Grundseite. Sie ist kürzer als die schräge Seite des Parallelogramms.

Manchmal liegt die Höhe innerhalb der Figur. Bei sehr “schiefen” Parallelogrammen kann sie auch ausserhalb verlaufen. Die Formel gilt trotzdem.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

So gehst du bei Flächenberechnungen vor:

1. Identifiziere die Grundseite $g$ im Parallelogramm.
2. Finde die zugehörige Höhe $h$. Sie steht senkrecht auf $g$.
3. Setze beide Werte in die Formel $A = g \cdot h$ ein.
4. Berechne das Produkt.
5. Vergiss die Einheit nicht: Flächen haben Quadrateinheiten (z.B. $\text{cm}^2$).

Typischer Fehler: Die schräge Seite als Höhe nehmen

Viele verwechseln die Seitenlänge mit der Höhe. Die schräge Seite ist aber länger als die Höhe. Achte immer auf den rechten Winkel zwischen Höhe und Grundseite. Ohne diesen Winkel rechnest du falsch.

Beispiele

Beispiel 1: Einfache Berechnung mit ganzen Zahlen

Ein Parallelogramm hat eine Grundseite von $8 \, \text{cm}$ und eine Höhe von $5 \, \text{cm}$.

Beispiel:

Gegeben: $g = 8 \, \text{cm}$, $h = 5 \, \text{cm}$

Gesucht: Fläche $A$

Rechnung:

$$A = g \cdot h = 8 \, \text{cm} \cdot 5 \, \text{cm} = 40 \, \text{cm}^2$$

Antwort: Die Fläche beträgt $40 \, \text{cm}^2$.

Beispiel 2: Berechnung mit Dezimalzahlen

Ein Parallelogramm hat $g = 12{,}5 \, \text{m}$ und $h = 4{,}8 \, \text{m}$.

Beispiel:

Gegeben: $g = 12{,}5 \, \text{m}$, $h = 4{,}8 \, \text{m}$

Gesucht: Fläche $A$

Rechnung:

$$A = g \cdot h = 12{,}5 \, \text{m} \cdot 4{,}8 \, \text{m} = 60 \, \text{m}^2$$

Antwort: Die Fläche beträgt $60 \, \text{m}^2$.

Beispiel 3: Rückwärtsrechnung – die Höhe bestimmen

Ein Parallelogramm hat eine Fläche von $72 \, \text{cm}^2$ und eine Grundseite von $9 \, \text{cm}$. Wie gross ist die Höhe?

Beispiel:

Gegeben: $A = 72 \, \text{cm}^2$, $g = 9 \, \text{cm}$

Gesucht: Höhe $h$

Überlegung: Wir stellen die Formel nach $h$ um.

Aus $A = g \cdot h$ folgt:

$$h = \frac{A}{g}$$

Rechnung:

$$h = \frac{72 \, \text{cm}^2}{9 \, \text{cm}} = 8 \, \text{cm}$$

Antwort: Die Höhe beträgt $8 \, \text{cm}$.

Warum funktioniert die Formel?

Denk nochmal an das Dreieck, das wir abschneiden und verschieben. Die Grundseite $g$ bleibt unverändert. Die Höhe $h$ ist der senkrechte Abstand. Beides zusammen ergibt dieselbe Fläche wie beim Rechteck.

Diese Idee nennt man “Scherung”. Du scherst das Rechteck zur Seite. Die Form ändert sich, die Fläche nicht.

Achtung bei verschiedenen Grundseiten

Ein Parallelogramm hat zwei verschiedene Seitenpaare. Du kannst jede Seite als Grundseite wählen. Die Höhe muss aber immer zur gewählten Grundseite passen. Wählst du eine andere Grundseite, brauchst du auch die andere Höhe.

Zusammenfassung

Das Parallelogramm ist ein Viereck mit zwei Paaren paralleler Seiten. Seine Fläche berechnest du mit $A = g \cdot h$. Dabei ist $g$ die Grundseite und $h$ die senkrechte Höhe dazu.

Der Schlüssel zum Erfolg: Erkenne die Höhe richtig. Sie ist nicht die schräge Seite, sondern der kürzeste Abstand zwischen den parallelen Seiten.

Quiz

❓ Frage: Ein Parallelogramm hat $g = 6 \, \text{cm}$ und $h = 7 \, \text{cm}$. Wie gross ist die Fläche?

Lösung anzeigen

$$A = g \cdot h = 6 \, \text{cm} \cdot 7 \, \text{cm} = 42 \, \text{cm}^2$$

❓ Frage: Die Fläche eines Parallelogramms beträgt $100 \, \text{m}^2$. Die Grundseite ist $20 \, \text{m}$ lang. Wie hoch ist das Parallelogramm?

Lösung anzeigen

$$h = \frac{A}{g} = \frac{100 \, \text{m}^2}{20 \, \text{m}} = 5 \, \text{m}$$

❓ Frage: Ein Parallelogramm hat eine Grundseite von $15 \, \text{cm}$, eine schräge Seite von $10 \, \text{cm}$ und eine Höhe von $8 \, \text{cm}$. Welchen Wert brauchst du NICHT für die Flächenberechnung?

Lösung anzeigen

Die schräge Seite ($10 \, \text{cm}$) wird nicht benötigt. Für die Fläche brauchst du nur Grundseite und Höhe:

$$A = 15 \, \text{cm} \cdot 8 \, \text{cm} = 120 \, \text{cm}^2$$