Die Fläche eines Dreiecks berechnen

Darum geht's

Stell dir vor, du möchtest ein dreieckiges Blumenbeet im Garten anlegen. Du willst wissen, wie viel Erde du dafür brauchst. Oder denk an ein Stück Pizza – wie gross ist eigentlich diese dreieckige Fläche auf deinem Teller?

Überall in deinem Alltag findest du Dreiecke. Verkehrsschilder, Dachgiebel, Segel von Booten. Um zu wissen, wie viel Material du für solche Formen brauchst, musst du ihre Fläche bestimmen können.

Das Praktische: Die Berechnung ist gar nicht kompliziert. Du brauchst nur zwei Masse und eine einfache Formel.

Eine kleine Zeitreise

Menschen beschäftigen sich seit Jahrtausenden mit Dreiecken. Die Frage nach ihrer Fläche ist dabei fast so alt wie die Mathematik selbst.

Die alten Ägypter waren wahre Meister darin. Sie mussten nach jeder Nilüberschwemmung die Felder neu ausmessen. Viele dieser Felder hatten dreieckige oder trapezförmige Formen. In einem der ältesten erhaltenen Mathematikdokumente der Welt, dem Papyrus Rhind aus dem Jahr 1650 v. Chr., finden sich bereits Berechnungen zur Dreiecksgeometrie. Die ägyptischen Schreiber wussten, dass sie die Hälfte einer Seite mit der benachbarten Seite multiplizieren konnten, um die Fläche zu bestimmen.

Noch systematischer gingen die alten Griechen vor. Der Mathematiker Euklid von Alexandria fasste um 300 v. Chr. das gesamte geometrische Wissen seiner Zeit in seinem Werk „Elemente” zusammen. Darin bewies er, dass jedes Dreieck genau halb so gross ist wie das umgebende Parallelogramm. Diese Erkenntnis ist bis heute die Grundlage unserer Formel.

Auch in der babylonischen Mathematik, die etwa 2000 v. Chr. in Mesopotamien blühte, tauchen Dreiecksflächen auf. Keilschrifttafeln zeigen, dass babylonische Gelehrte präzise Methoden zur Flächenberechnung kannten.

Ein weiterer wichtiger Name ist Heron von Alexandria. Er lebte im ersten Jahrhundert nach Christus und entwickelte eine Formel, mit der man die Dreiecksfläche allein aus den drei Seitenlängen berechnen kann – ohne die Höhe zu kennen. Diese sogenannte Heronsche Formel lernst du in späteren Schuljahren kennen.

Was diese Entdeckungsgeschichte zeigt: Das Dreieck ist die grundlegendste aller Flächen. Wer Dreiecke versteht, versteht Geometrie.

Die Grundlagen

Bevor du mit dem Rechnen beginnst, musst du zwei zentrale Begriffe verstehen. Ohne diese Begriffe kann die Formel nicht funktionieren.

Definition

Ein Dreieck hat drei Seiten. Du kannst jede dieser drei Seiten zur Grundseite $g$ erklären.

Die Höhe $h$ ist der kürzeste Abstand von der Grundseite zur gegenüberliegenden Ecke. Die Höhe steht immer im rechten Winkel (90°) zur Grundseite. Man nennt diesen rechten Winkel auch senkrecht.

Wichtig: Grundseite und Höhe bilden immer ein Paar. Sie gehören untrennbar zusammen.

Stell dir ein spitzwinkliges Dreieck vor, das auf dem Tisch liegt. Die untere Seite ist deine Grundseite. Von der obersten Ecke fällst du gedanklich ein Lot auf diese untere Seite. Diese senkrechte Strecke ist die Höhe.

Bei einem gleichschenkligen Dreieck – also einem Dreieck mit zwei gleich langen Seiten – trifft die Höhe genau in der Mitte der Grundseite auf. Das ist ein schöner Sonderfall.

Dreiecke kommen in vielen Formen vor. Es gibt spitzwinklige Dreiecke, bei denen alle Winkel kleiner als 90° sind. Es gibt rechtwinklige Dreiecke mit genau einem 90°-Winkel. Und es gibt stumpfwinklige Dreiecke mit einem Winkel grösser als 90°. Die Formel gilt für alle drei Typen.

Die Kernmethode

Woher kommt die Formel eigentlich? Die Antwort steckt im Rechteck.

Zeichne ein Rechteck mit der Breite $g$ und der Höhe $h$. Ziehe jetzt eine Diagonale von einer Ecke zur gegenüberliegenden Ecke. Das Rechteck zerfällt in zwei gleich grosse Dreiecke. Jedes Dreieck hat genau die halbe Fläche des Rechtecks.

Die Fläche des Rechtecks beträgt $g \cdot h$. Die Fläche jedes Dreiecks ist also $\dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h$.

Dieses Prinzip lässt sich auf alle Dreiecke übertragen – nicht nur auf rechtwinklige. Du kannst jedes beliebige Dreieck immer in ein Rechteck oder Parallelogramm einbetten und erhältst stets die Hälfte als Dreiecksfläche.

Definition

Die Fläche $A$ eines Dreiecks berechnest du mit:

$$A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$$

Dabei gilt:

• $g$ = Grundseite (eine beliebige Seite des Dreiecks)
• $h$ = Höhe zur Grundseite (steht senkrecht auf $g$)
• $A$ = Fläche in Flächeneinheiten (z. B. $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$)

Du kannst $\dfrac{1}{2}$ auch als Division durch 2 schreiben: $A = g \cdot h \div 2$.

So gehst du bei jeder Aufgabe vor: Grundseite ablesen, Höhe ablesen, Werte einsetzen, ausrechnen, Einheit angeben.

Beispiel:

Beispiel 1: Einfaches Dreieck mit ganzen Zahlen

Ein Dreieck hat eine Grundseite von $g = 8 \, \text{cm}$ und eine Höhe von $h = 5 \, \text{cm}$. Berechne die Fläche.

Lösung:

Werte ablesen: $g = 8 \, \text{cm}$, $h = 5 \, \text{cm}$.

Formel aufschreiben und einsetzen:

$$A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 8 \, \text{cm} \cdot 5 \, \text{cm}$$

Zuerst $8 \cdot 5 = 40$ rechnen, dann durch 2 teilen:

$$A = \frac{40}{2} \, \text{cm}^2 = 20 \, \text{cm}^2$$

Die Fläche des Dreiecks beträgt $20 \, \text{cm}^2$.

Beispiel:

Beispiel 2: Dreieck mit Dezimalzahlen

Ein Dreieck hat eine Grundseite von $g = 6{,}4 \, \text{m}$ und eine Höhe von $h = 3{,}5 \, \text{m}$. Berechne die Fläche.

Lösung:

Werte ablesen: $g = 6{,}4 \, \text{m}$, $h = 3{,}5 \, \text{m}$.

Formel einsetzen:

$$A = \frac{1}{2} \cdot 6{,}4 \, \text{m} \cdot 3{,}5 \, \text{m}$$

Zuerst die Dezimalzahlen multiplizieren: $6{,}4 \cdot 3{,}5 = 22{,}4$

Tipp: Rechne $64 \cdot 35 = 2240$, dann zwei Stellen nach dem Komma verschieben.

$$A = \frac{22{,}4}{2} \, \text{m}^2 = 11{,}2 \, \text{m}^2$$

Die Fläche beträgt $11{,}2 \, \text{m}^2$.

Die häufigsten Stolpersteine

Beim Berechnen von Dreiecksflächen passieren immer wieder dieselben Fehler. Wenn du diese kennst, kannst du sie vermeiden.

Achtung

Höhe und Grundseite gehören zusammen: Du kannst jede der drei Seiten als Grundseite wählen. Aber dann musst du auch die Höhe zu genau dieser Seite verwenden. Nimmst du die Grundseite $g_a$, musst du die Höhe $h_a$ nehmen – also die Höhe, die senkrecht auf $g_a$ steht. Mischst du Grundseite und Höhe verschiedener Seiten, ist das Ergebnis falsch.

Achtung

Die Höhe liegt manchmal ausserhalb des Dreiecks: Bei stumpfwinkligen Dreiecken liegt die Höhe nicht im Inneren des Dreiecks. Du musst die Grundseite gedanklich verlängern. Die Höhe trifft dann auf diese verlängerte Linie – ausserhalb des Dreiecks. Das ist vollkommen korrekt. Die Formel gilt trotzdem unverändert.

Achtung

Einheit nicht vergessen: Die Fläche wird immer in Flächeneinheiten angegeben. Aus Zentimetern werden Quadratzentimeter ($\text{cm}^2$), aus Metern werden Quadratmeter ($\text{m}^2$). Schreibe immer die Einheit hin. Eine Zahl ohne Einheit ist bei einer Flächenaufgabe keine vollständige Antwort.

Beispiel:

Beispiel 3: Höhe berechnen (Formel umstellen)

Ein dreieckiges Segel hat eine Fläche von $A = 12 \, \text{m}^2$. Die Grundseite misst $g = 4 \, \text{m}$. Wie hoch ist das Segel?

Lösung:

Hier ist die Fläche bekannt. Gesucht ist die Höhe $h$. Du musst die Formel umstellen.

Ausgangsformel:

$$A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$$

Beide Seiten mit 2 multiplizieren:

$$2 \cdot A = g \cdot h$$

Beide Seiten durch $g$ teilen:

$$h = \frac{2 \cdot A}{g}$$

Werte einsetzen:

$$h = \frac{2 \cdot 12 \, \text{m}^2}{4 \, \text{m}} = \frac{24}{4} \, \text{m} = 6 \, \text{m}$$

Das Segel ist $6 \, \text{m}$ hoch.

Beispiel:

Beispiel 4: Zusammengesetzte Figur

Ein Haus wird von vorne als Rechteck mit einem Dreieck als Dach gezeichnet. Das Rechteck ist $6 \, \text{m}$ breit und $4 \, \text{m}$ hoch. Das Dreieck (Dach) hat dieselbe Grundseite von $6 \, \text{m}$ und eine Höhe von $2 \, \text{m}$. Wie gross ist die gesamte Vorderfläche?

Lösung:

Du berechnest beide Flächen getrennt und addierst sie.

Fläche des Rechtecks:

$$A_{\text{Rechteck}} = 6 \, \text{m} \cdot 4 \, \text{m} = 24 \, \text{m}^2$$

Fläche des Dreiecks (Dach):

$$A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot 6 \, \text{m} \cdot 2 \, \text{m} = 6 \, \text{m}^2$$

Gesamtfläche:

$$A_{\text{gesamt}} = 24 \, \text{m}^2 + 6 \, \text{m}^2 = 30 \, \text{m}^2$$

Die gesamte Vorderfläche beträgt $30 \, \text{m}^2$.

Übungen

Jetzt bist du dran. Löse die folgenden Aufgaben selbst. Die Lösungen findest du weiter unten.

Aufgabe 1: Ein Dreieck hat die Grundseite $g = 10 \, \text{cm}$ und die Höhe $h = 4 \, \text{cm}$. Berechne die Fläche.

Aufgabe 2: Ein Dreieck hat $g = 14 \, \text{m}$ und $h = 3 \, \text{m}$. Wie gross ist die Fläche?

Aufgabe 3: Die Fläche eines Dreiecks beträgt $A = 30 \, \text{cm}^2$. Die Grundseite misst $g = 10 \, \text{cm}$. Berechne die Höhe $h$.

Aufgabe 4: Ein gleichseitiges Dreieck hat die Grundseite $g = 6 \, \text{cm}$ und die Höhe $h = 5{,}2 \, \text{cm}$. Berechne die Fläche.

Aufgabe 5: Ein Dreieck hat $g = 9{,}6 \, \text{m}$ und $h = 2{,}5 \, \text{m}$. Berechne die Fläche.

Aufgabe 6: Ein dreieckiges Verkehrsschild hat eine Grundseite von $g = 60 \, \text{cm}$ und eine Höhe von $h = 52 \, \text{cm}$. Wie gross ist die rote Fläche?

Aufgabe 7: Ein rechtwinkliges Dreieck hat die beiden Katheten (die beiden kürzeren Seiten) $a = 5 \, \text{cm}$ und $b = 8 \, \text{cm}$. Bei einem rechtwinkligen Dreieck sind die beiden Katheten gleichzeitig Grundseite und Höhe. Berechne die Fläche.

Aufgabe 8: Ein Drachenviereck besteht aus zwei Dreiecken. Das obere Dreieck hat $g = 12 \, \text{cm}$ und $h_1 = 5 \, \text{cm}$. Das untere Dreieck hat dieselbe Grundseite und $h_2 = 9 \, \text{cm}$. Wie gross ist die gesamte Fläche des Drachens?

Das Wichtigste in Kürze

Die Fläche eines Dreiecks berechnest du mit $A = \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h$.

Du brauchst immer eine Grundseite und die dazugehörige Höhe. Die Höhe steht senkrecht auf der Grundseite. Bei stumpfwinkligen Dreiecken kann die Höhe ausserhalb des Dreiecks liegen.

Denk stets an das halbe Rechteck. Jedes Dreieck ist genau halb so gross wie das Rechteck mit gleicher Grundseite und gleicher Höhe.

Vergiss die Einheit nicht. Flächen werden immer in quadratischen Einheiten angegeben: $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$, $\text{km}^2$.

Kannst du die Formel auswendig? Dann bist du bestens gerüstet.

❓ Frage: Ein Dreieck hat $g = 10 \, \text{cm}$ und $h = 6 \, \text{cm}$. Wie gross ist die Fläche?

Lösung anzeigen

$$A = \frac{1}{2} \cdot 10 \, \text{cm} \cdot 6 \, \text{cm} = \frac{60}{2} \, \text{cm}^2 = 30 \, \text{cm}^2$$

Die Fläche beträgt $30 \, \text{cm}^2$.

❓ Frage: Die Fläche eines Dreiecks beträgt $A = 24 \, \text{m}^2$. Die Grundseite ist $g = 8 \, \text{m}$. Wie lang ist die Höhe $h$?

Lösung anzeigen

Formel umstellen: $h = \dfrac{2 \cdot A}{g}$

$$h = \frac{2 \cdot 24 \, \text{m}^2}{8 \, \text{m}} = \frac{48}{8} \, \text{m} = 6 \, \text{m}$$

Die Höhe beträgt $6 \, \text{m}$.

❓ Frage: Ein Dreieck hat die Seiten $a = 5 \, \text{cm}$, $b = 12 \, \text{cm}$ und $c = 13 \, \text{cm}$. Die Höhe auf Seite $b$ beträgt $h_b = 5 \, \text{cm}$. Berechne die Fläche.

Lösung anzeigen

Grundseite ist $b = 12 \, \text{cm}$, zugehörige Höhe ist $h_b = 5 \, \text{cm}$.

$$A = \frac{1}{2} \cdot 12 \, \text{cm} \cdot 5 \, \text{cm} = \frac{60}{2} \, \text{cm}^2 = 30 \, \text{cm}^2$$

Die Fläche beträgt $30 \, \text{cm}^2$.

Ausblick

Du kannst jetzt die Fläche jedes Dreiecks berechnen. Dieses Wissen ist der Schlüssel zu vielem mehr.

In den nächsten Lerneinheiten berechnest du Flächen von Parallelogrammen und Trapezen. Beide Formeln bauen direkt auf der Dreiecksformel auf. Später begegnest du dem Satz des Pythagoras – er gilt speziell für rechtwinklige Dreiecke und verbindet die Längen der Seiten. Und in der Oberstufe lernst du die Heronsche Formel kennen, mit der du Dreiecksflächen auch ohne Höhenangabe berechnen kannst.

Dreiecke sind die Bausteine der Geometrie. Wer sie beherrscht, hat eine starke Grundlage.

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 1:

$$A = \frac{1}{2} \cdot 10 \, \text{cm} \cdot 4 \, \text{cm} = \frac{40}{2} \, \text{cm}^2 = 20 \, \text{cm}^2$$

Die Fläche beträgt $20 \, \text{cm}^2$.

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Lösung zu Aufgabe 2:

$$A = \frac{1}{2} \cdot 14 \, \text{m} \cdot 3 \, \text{m} = \frac{42}{2} \, \text{m}^2 = 21 \, \text{m}^2$$

Die Fläche beträgt $21 \, \text{m}^2$.

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Lösung zu Aufgabe 3:

Formel umstellen: $h = \dfrac{2 \cdot A}{g}$

$$h = \frac{2 \cdot 30 \, \text{cm}^2}{10 \, \text{cm}} = \frac{60}{10} \, \text{cm} = 6 \, \text{cm}$$

Die Höhe beträgt $6 \, \text{cm}$.

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Lösung zu Aufgabe 4:

$$A = \frac{1}{2} \cdot 6 \, \text{cm} \cdot 5{,}2 \, \text{cm} = \frac{31{,}2}{2} \, \text{cm}^2 = 15{,}6 \, \text{cm}^2$$

Die Fläche beträgt $15{,}6 \, \text{cm}^2$.

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Lösung zu Aufgabe 5:

$$A = \frac{1}{2} \cdot 9{,}6 \, \text{m} \cdot 2{,}5 \, \text{m} = \frac{24}{2} \, \text{m}^2 = 12 \, \text{m}^2$$

Zwischenrechnung: $9{,}6 \cdot 2{,}5 = 24$. Die Fläche beträgt $12 \, \text{m}^2$.

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Lösung zu Aufgabe 6:

$$A = \frac{1}{2} \cdot 60 \, \text{cm} \cdot 52 \, \text{cm} = \frac{3120}{2} \, \text{cm}^2 = 1560 \, \text{cm}^2$$

Die rote Fläche des Verkehrsschilds beträgt $1560 \, \text{cm}^2$.

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Lösung zu Aufgabe 7:

Bei einem rechtwinkligen Dreieck sind die beiden Katheten gleichzeitig Grundseite und Höhe. Kathete $a$ ist die Grundseite, Kathete $b$ ist die Höhe (oder umgekehrt – das Ergebnis ist dasselbe).

$$A = \frac{1}{2} \cdot 5 \, \text{cm} \cdot 8 \, \text{cm} = \frac{40}{2} \, \text{cm}^2 = 20 \, \text{cm}^2$$

Die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks beträgt $20 \, \text{cm}^2$.

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Lösung zu Aufgabe 8:

Fläche des oberen Dreiecks:

$$A_1 = \frac{1}{2} \cdot 12 \, \text{cm} \cdot 5 \, \text{cm} = 30 \, \text{cm}^2$$

Fläche des unteren Dreiecks:

$$A_2 = \frac{1}{2} \cdot 12 \, \text{cm} \cdot 9 \, \text{cm} = 54 \, \text{cm}^2$$

Gesamtfläche des Drachens:

$$A_{\text{gesamt}} = 30 \, \text{cm}^2 + 54 \, \text{cm}^2 = 84 \, \text{cm}^2$$

Die gesamte Fläche des Drachenvierecks beträgt $84 \, \text{cm}^2$.