Die Fläche eines Dreiecks berechnen

Stell dir vor, du möchtest ein dreieckiges Blumenbeet im Garten anlegen. Du willst wissen, wie viel Erde du dafür brauchst. Oder denk an ein Stück Pizza – wie gross ist eigentlich diese dreieckige Fläche auf deinem Teller?

Überall in deinem Alltag findest du Dreiecke. Verkehrsschilder, Dachgiebel, Segel von Booten. Um zu wissen, wie viel Material du für solche Formen brauchst, musst du ihre Fläche bestimmen können.

Das Praktische: Die Berechnung ist gar nicht kompliziert. Du brauchst nur zwei Masse und eine einfache Formel.

Vom Rechteck zum Dreieck

Du kennst bereits die Flächenberechnung beim Rechteck. Dort gilt: Länge mal Breite ergibt die Fläche. Beim Dreieck nutzen wir genau dieses Wissen.

Stell dir ein Rechteck vor. Nun ziehst du eine diagonale Linie von einer Ecke zur gegenüberliegenden Ecke. Was passiert? Das Rechteck wird in zwei gleich grosse Dreiecke geteilt.

Jedes dieser Dreiecke hat also genau die halbe Fläche des Rechtecks. Diese Erkenntnis ist der Schlüssel zur Dreiecksformel.

Die Formel für die Dreiecksfläche

DEFINITION

Die Fläche $A$ eines Dreiecks berechnest du mit:

$$A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$$

Dabei ist:

• $g$ = die Grundseite (eine beliebige Seite des Dreiecks)
• $h$ = die Höhe (der senkrechte Abstand von der Grundseite zur gegenüberliegenden Ecke)

Was bedeuten diese Begriffe?

Die Grundseite $g$ ist die Seite, auf der das Dreieck “steht”. Du kannst jede der drei Seiten als Grundseite wählen. Die Wahl beeinflusst aber, welche Höhe du verwenden musst.

Die Höhe $h$ ist der kürzeste Abstand von der Grundseite zur gegenüberliegenden Ecke. Die Höhe steht immer im rechten Winkel (90°) zur Grundseite. Sie bildet also eine senkrechte Linie.

Kopfkino: So stellst du es dir vor

Denk wieder an das Rechteck. Es hat die Fläche $g \cdot h$. Das Dreieck ist die Hälfte davon. Deshalb multiplizierst du mit $\frac{1}{2}$ (oder teilst durch 2).

Du kannst es dir auch so vorstellen: Das Dreieck ist wie ein “zusammengeklapptes” Rechteck. Die fehlende Hälfte wurde weggeschnitten.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

So gehst du bei jeder Aufgabe vor:

1. Lies die Aufgabe und identifiziere das Dreieck.
2. Finde die Grundseite $g$ (oft ist sie gegeben oder leicht zu erkennen).
3. Finde die zugehörige Höhe $h$ (sie muss senkrecht auf $g$ stehen).
4. Setze beide Werte in die Formel $A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$ ein.
5. Rechne aus und vergiss die Einheit nicht (z.B. $\text{cm}^2$ oder $\text{m}^2$).

Achtung: Die Höhe muss zur Grundseite passen!

Ein häufiger Fehler: Du verwendest eine Seite als Grundseite, aber die Höhe zu einer anderen Seite. Die Höhe muss immer senkrecht auf der gewählten Grundseite stehen. Sonst stimmt das Ergebnis nicht.

Merke: Grundseite und Höhe bilden immer ein Paar. Wechselst du die Grundseite, ändert sich auch die zugehörige Höhe.

Beispiele

Beispiel:

Beispiel 1: Einfaches Dreieck mit ganzen Zahlen

Ein Dreieck hat eine Grundseite von $g = 8 \, \text{cm}$ und eine Höhe von $h = 5 \, \text{cm}$.

Lösung:

Wir setzen die Werte in die Formel ein:

$$A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$$$$A = \frac{1}{2} \cdot 8 \, \text{cm} \cdot 5 \, \text{cm}$$$$A = \frac{1}{2} \cdot 40 \, \text{cm}^2$$$$A = 20 \, \text{cm}^2$$

Die Fläche des Dreiecks beträgt $20 \, \text{cm}^2$.

Beispiel:

Beispiel 2: Dreieck mit Dezimalzahlen

Ein Dreieck hat eine Grundseite von $g = 6{,}4 \, \text{m}$ und eine Höhe von $h = 3{,}5 \, \text{m}$.

Lösung:

Wir wenden die Formel an:

$$A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$$$$A = \frac{1}{2} \cdot 6{,}4 \, \text{m} \cdot 3{,}5 \, \text{m}$$

Zuerst multiplizieren wir $g$ und $h$:

$$6{,}4 \cdot 3{,}5 = 22{,}4$$

Dann teilen wir durch 2:

$$A = \frac{22{,}4}{2} \, \text{m}^2 = 11{,}2 \, \text{m}^2$$

Die Fläche beträgt $11{,}2 \, \text{m}^2$.

Beispiel:

Beispiel 3: Textaufgabe – Die Höhe berechnen

Ein dreieckiges Segel hat eine Fläche von $A = 12 \, \text{m}^2$. Die Grundseite misst $g = 4 \, \text{m}$. Wie hoch ist das Segel?

Lösung:

Hier ist die Fläche gegeben. Wir suchen die Höhe $h$. Dazu stellen wir die Formel um.

Ausgangsformel:

$$A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$$

Wir multiplizieren beide Seiten mit 2:

$$2 \cdot A = g \cdot h$$

Dann teilen wir durch $g$:

$$h = \frac{2 \cdot A}{g}$$

Jetzt setzen wir die Werte ein:

$$h = \frac{2 \cdot 12 \, \text{m}^2}{4 \, \text{m}}$$$$h = \frac{24 \, \text{m}^2}{4 \, \text{m}}$$$$h = 6 \, \text{m}$$

Das Segel ist $6 \, \text{m}$ hoch.

Warum funktioniert diese Formel immer?

Vielleicht fragst du dich: Klappt das auch bei “schiefen” Dreiecken? Ja, absolut. Auch bei stumpfwinkligen Dreiecken, bei denen die Höhe ausserhalb des Dreiecks liegt, stimmt die Formel.

Der Trick: Die Höhe ist immer die kürzeste Verbindung zur gegenüberliegenden Ecke. Egal wie das Dreieck aussieht. Diese Definition garantiert, dass die Formel universell gilt.

Bei stumpfwinkligen Dreiecken: Höhe kann ausserhalb liegen

Bei manchen Dreiecken fällt die Höhe nicht ins Innere des Dreiecks. Dann musst du die Grundseite gedanklich verlängern. Die Höhe trifft dann auf diese verlängerte Linie. Das Ergebnis ist trotzdem korrekt.

Zusammenfassung

Die Dreiecksfläche berechnest du mit $A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$. Du brauchst eine Grundseite und die dazugehörige Höhe. Die Höhe steht immer senkrecht auf der Grundseite.

Denk an das halbe Rechteck. Diese Vorstellung hilft dir, die Formel zu verstehen und zu behalten.

Quiz

❓ Frage: Ein Dreieck hat $g = 10 \, \text{cm}$ und $h = 6 \, \text{cm}$. Wie gross ist die Fläche?

Lösung anzeigen

$$A = \frac{1}{2} \cdot 10 \, \text{cm} \cdot 6 \, \text{cm} = 30 \, \text{cm}^2$$

❓ Frage: Die Fläche eines Dreiecks beträgt $A = 24 \, \text{m}^2$. Die Grundseite ist $g = 8 \, \text{m}$. Wie lang ist die Höhe $h$?

Lösung anzeigen

$$h = \frac{2 \cdot A}{g} = \frac{2 \cdot 24 \, \text{m}^2}{8 \, \text{m}} = \frac{48}{8} \, \text{m} = 6 \, \text{m}$$

❓ Frage: Ein Dreieck hat die Seiten $a = 5 \, \text{cm}$, $b = 12 \, \text{cm}$ und $c = 13 \, \text{cm}$. Die Höhe auf Seite $b$ beträgt $h_b = 5 \, \text{cm}$. Berechne die Fläche.

Lösung anzeigen

Wir verwenden $b$ als Grundseite und $h_b$ als Höhe:

$$A = \frac{1}{2} \cdot 12 \, \text{cm} \cdot 5 \, \text{cm} = 30 \, \text{cm}^2$$