Flächen berechnen: Quadrat, Rechteck, Parallelogramm & Co.

Darum geht's

Stell dir vor, du möchtest dein Zimmer mit einem neuen Teppich auslegen. Der Verkäufer fragt dich: «Wie gross ist dein Zimmer?» Du weisst, dass es vier Ecken hat und die Wände gerade sind. Aber wie findest du heraus, wie viel Teppich du brauchst?

Oder denk an einen Bauern, der sein Feld düngen will. Er muss wissen, wie viel Fläche sein Feld hat. Nur so kann er die richtige Menge Dünger kaufen. Das Feld ist kein einfaches Rechteck – eine Seite verläuft schräg. Trotzdem lässt sich die Fläche berechnen.

In diesem Kapitel lernst du, wie du die Flächen verschiedener Vierecke bestimmst. Jede Form hat ihre eigene Formel. Aber alle basieren auf dem gleichen Grundprinzip.

Eine kleine Zeitreise

Die Berechnung von Flächen beschäftigt Menschen seit Jahrtausenden. Schon vor 4000 Jahren entwickelten die alten Ägypter Methoden, um Felder zu vermessen. Nach jeder Nilüberschwemmung wurden die Grenzen der Felder neu ausgeschwemmt. Die Staatsbeamten mussten die Flächen deshalb jedes Jahr neu berechnen. So wussten die Bauern, wie viel Steuern sie zahlen mussten.

Die Ägypter kannten bereits eine Näherungsformel für das Rechteck: Länge mal Breite. Diese Regel kannten die Babylonier sogar noch früher. In Keilschrifttafeln aus dem Jahr 1800 v. Chr. finden sich Aufgaben, die du heute im Mathematikunterricht erkennst.

Die alten Griechen gingen noch weiter. Der Mathematiker Euklid von Alexandria schrieb um 300 v. Chr. sein Werk «Elemente». Darin bewies er mit logischen Schritten, warum die Flächenformeln stimmen. Euklid zeigte: Ein Parallelogramm hat dieselbe Fläche wie ein Rechteck mit gleicher Grundseite und gleicher Höhe. Das war keine Vermutung, sondern ein bewiesener Satz.

Das Wort «Quadrat» stammt übrigens aus dem Lateinischen: «quadratus» bedeutet «viereckig». Und die Schreibweise $a^2$ geht auf René Descartes zurück, einen französischen Mathematiker des 17. Jahrhunderts. Er führte die Potenzschreibweise ein, die wir bis heute verwenden.

Auch der Begriff «Trapez» hat eine lange Geschichte. Er kommt vom griechischen Wort «trapezion», was «kleiner Tisch» bedeutet. Schau dir ein Trapez an: Die zwei parallelen Seiten erinnern an eine Tischplatte und den Boden.

All diese Formeln, die heute selbstverständlich wirken, wurden über Jahrhunderte hinweg entdeckt, bewiesen und verfeinert. Wenn du sie lernst, trittst du in die Fussstapfen von Mathematikern aus aller Welt.

Die Grundlagen

Bevor du die einzelnen Vierecke berechnest, musst du das Grundprinzip verstehen.

Stell dir ein Gitter aus kleinen Quadraten vor. Jedes Quadrat hat eine Seitenlänge von einem Zentimeter. Sein Inhalt beträgt genau $1 \, \text{cm}^2$ (ein Quadratzentimeter). Die Fläche einer Form ist die Anzahl solcher kleinen Quadrate, die darin Platz haben.

Definition

Die Fläche (oder der Flächeninhalt) einer geometrischen Form ist der Platzbedarf dieser Form in der Ebene.

Die Masseinheit für Flächen ist das Quadrat der Längeneinheit:

• $1 \, \text{mm}^2$ (Quadratmillimeter)
• $1 \, \text{cm}^2$ (Quadratzentimeter) $= 100 \, \text{mm}^2$
• $1 \, \text{dm}^2$ (Quadratdezimeter) $= 100 \, \text{cm}^2$
• $1 \, \text{m}^2$ (Quadratmeter) $= 100 \, \text{dm}^2$

Ein Rechteck mit Länge $a = 4 \, \text{cm}$ und Breite $b = 3 \, \text{cm}$ enthält $3$ Reihen mit je $4$ kleinen Quadraten. Das ergibt $4 \cdot 3 = 12$ kleine Quadrate. Die Fläche ist also $12 \, \text{cm}^2$.

Daraus folgt das Grundprinzip aller Flächenberechnungen: Zählen durch Multiplizieren. Statt einzelne Quadrate zu zählen, multiplizierst du Länge und Breite. Das spart Zeit und funktioniert auch bei sehr grossen Flächen.

Vierecke haben – wie der Name sagt – vier Ecken und vier Seiten. Die besonderen Vierecke zeichnen sich durch zusätzliche Eigenschaften aus. Manche haben rechte Winkel. Andere haben parallele Seiten oder gleich lange Seiten. Diese Eigenschaften bestimmen, welche Formel du anwenden kannst.

Die Kernmethode

Für jedes besondere Viereck gibt es eine eigene Formel. Alle basieren auf demselben Trick: dem Zerlegen und Umformen.

Definition

Quadrat (Seite $a$): $A = a \cdot a = a^2$

Rechteck (Länge $a$, Breite $b$): $A = a \cdot b$

Parallelogramm (Grundseite $g$, Höhe $h$): $A = g \cdot h$

Raute (Grundseite $g$, Höhe $h$ oder Diagonalen $e$, $f$): $A = g \cdot h \qquad \text{oder} \qquad A = \dfrac{e \cdot f}{2}$

Trapez (parallele Seiten $a$ und $c$, Höhe $h$): $A = \dfrac{(a + c) \cdot h}{2}$

Der Schlüssel ist das Umformen. Jedes dieser Vierecke lässt sich in ein Rechteck verwandeln. Beim Parallelogramm schneidest du ein Dreieck auf einer Seite ab und setzt es auf der anderen Seite an. Das Ergebnis ist ein Rechteck mit gleicher Grundseite und gleicher Höhe. Deshalb gilt $A = g \cdot h$.

Beim Trapez funktioniert ein anderer Trick. Du nimmst zwei gleiche Trapezkopien und setzt sie zu einem Parallelogramm zusammen. Die Grundseite des Parallelogramms ist $a + c$. Deshalb halbierst du am Ende.

So gehst du bei jeder Aufgabe vor:

1. Form erkennen und Formel aufschreiben
2. Gegebene Werte einsetzen
3. Ausrechnen
4. Einheit angeben

Beispiel:

Beispiel 1: Fläche eines Quadrats

Ein quadratisches Schachbrett hat eine Seitenlänge von $40 \, \text{cm}$. Berechne die Fläche.

Lösung:

Gegeben: $a = 40 \, \text{cm}$

Formel: $A = a^2$

Einsetzen:

$A = 40 \, \text{cm} \cdot 40 \, \text{cm} = 1600 \, \text{cm}^2$

Das Schachbrett hat eine Fläche von $1600 \, \text{cm}^2$.

Das entspricht $0{,}16 \, \text{m}^2$. Das ist etwas weniger als ein Blatt Packpapier in Metergrösse. Du kannst dir also vorstellen, wie gross ein Schachbrett wirklich ist.

Beispiel:

Beispiel 2: Fläche eines Parallelogramms

Ein parallelogrammförmiges Grundstück hat eine Grundseite von $g = 25 \, \text{m}$. Die Höhe beträgt $h = 18 \, \text{m}$. Die schräge Seite ist $20 \, \text{m}$ lang. Wie gross ist das Grundstück?

Lösung:

Gegeben: $g = 25 \, \text{m}$, $h = 18 \, \text{m}$, schräge Seite $= 20 \, \text{m}$ (wird nicht benötigt)

Formel: $A = g \cdot h$

Einsetzen:

$A = 25 \, \text{m} \cdot 18 \, \text{m} = 450 \, \text{m}^2$

Das Grundstück ist $450 \, \text{m}^2$ gross.

Wichtig: Die schräge Seite mit $20 \, \text{m}$ wird gar nicht verwendet. Nur die senkrechte Höhe $h = 18 \, \text{m}$ zählt. Das ist ein typischer Trick in Aufgaben: Es werden mehr Werte angegeben, als du brauchst.

Die häufigsten Stolpersteine

Beim Berechnen von Vierecksflächen passieren immer wieder die gleichen Fehler. Hier sind die wichtigsten, damit du sie vermeiden kannst.

Achtung

Höhe statt Seite: Beim Parallelogramm und beim Trapez musst du die senkrechte Höhe $h$ verwenden. Die schräge Seite ist länger als die Höhe. Wenn du sie stattdessen verwendest, wird dein Ergebnis zu gross. Die Höhe steht immer im rechten Winkel zur Grundseite.

Achtung

Einheit vergessen: Eine Fläche ohne Einheit ist keine vollständige Antwort. Schreibe immer $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$ oder die entsprechende Einheit. Die Einheit ergibt sich aus dem Quadrat der Längeneinheit: Aus Zentimetern werden Quadratzentimeter.

Achtung

Falsche Einheit: Achte darauf, dass alle Längen in derselben Einheit angegeben sind, bevor du rechnest. Wenn eine Seite in Metern und eine in Zentimetern gegeben ist, musst du zuerst umrechnen. Sonst entsteht ein sinnloser «Mischmasch»-Wert.

Achtung

Division vergessen beim Trapez: Bei der Trapezformel steht ganz am Ende noch eine Division durch $2$. Viele vergessen diesen Schritt. Merke dir: Zwei gleiche Trapezkopien ergeben ein Parallelogramm. Du nimmst also nur die Hälfte.

Beispiel:

Beispiel 3: Textaufgabe zum Trapez

Ein Dach hat die Form eines Trapezes. Die obere Kante misst $6 \, \text{m}$, die untere $10 \, \text{m}$. Der senkrechte Abstand zwischen den beiden Kanten beträgt $4 \, \text{m}$. Wie viele Quadratmeter Dachpappe werden benötigt?

Lösung:

Gegeben: $a = 6 \, \text{m}$, $c = 10 \, \text{m}$, $h = 4 \, \text{m}$

Formel: $A = \dfrac{(a + c) \cdot h}{2}$

Einsetzen:

$A = \frac{(6 \, \text{m} + 10 \, \text{m}) \cdot 4 \, \text{m}}{2} = \frac{16 \, \text{m} \cdot 4 \, \text{m}}{2} = \frac{64 \, \text{m}^2}{2} = 32 \, \text{m}^2$

Für das Dach werden $32 \, \text{m}^2$ Dachpappe benötigt.

Probe: Wenn beide parallelen Seiten gleich lang wären (z. B. beide $8 \, \text{m}$), wäre das Trapez ein Parallelogramm mit $A = 8 \cdot 4 = 32 \, \text{m}^2$. Das stimmt – denn der Mittelwert von $6$ und $10$ ist tatsächlich $8$.

Beispiel:

Beispiel 4: Raute mit Diagonalen

Eine Windschutzscheibe eines alten Fahrzeugs ist in der Form einer Raute gestaltet. Die eine Diagonale ist $e = 80 \, \text{cm}$ lang, die andere $f = 50 \, \text{cm}$. Wie gross ist die Fläche der Scheibe?

Lösung:

Gegeben: $e = 80 \, \text{cm}$, $f = 50 \, \text{cm}$

Formel: $A = \dfrac{e \cdot f}{2}$

Einsetzen:

$A = \frac{80 \, \text{cm} \cdot 50 \, \text{cm}}{2} = \frac{4000 \, \text{cm}^2}{2} = 2000 \, \text{cm}^2$

Die Fläche der Scheibe beträgt $2000 \, \text{cm}^2$.

Zur Kontrolle kannst du die Fläche in Quadratdezimeter umrechnen: $2000 \, \text{cm}^2 = 20 \, \text{dm}^2$. Das ist ungefähr so gross wie ein grosses Blatt Zeichenpapier – das klingt für eine kleine Scheibe plausibel.

Vertiefung

Alle besonderen Vierecke stehen in einem engen Verwandtschaftsverhältnis. Du kannst sie wie eine Familie betrachten.

Das Quadrat ist ein Sonderfall des Rechtecks: alle Seiten gleich lang. Das Rechteck ist ein Sonderfall des Parallelogramms: alle Winkel sind 90 Grad. Die Raute ist ebenfalls ein Sonderfall des Parallelogramms: alle Seiten gleich lang. Und das Quadrat ist gleichzeitig ein Sonderfall der Raute.

Diese Verwandtschaft hat eine praktische Folge: Die Formeln hängen zusammen. Wenn du beim Parallelogramm $h = b$ einsetzt (die Höhe ist gleich der Seite, also ein rechter Winkel), erhältst du die Rechtecksformel $A = g \cdot h = a \cdot b$.

Definition

Alle Vierecksformeln lassen sich auf die Rechtecksformel zurückführen:

$A_{\text{Rechteck}} = a \cdot b$

Parallelogramm: Durch Umformen entsteht ein flächengleiches Rechteck: $A = g \cdot h$

Trapez: Zwei Trapezkopien ergeben ein Parallelogramm der Grundseite $a + c$: $A = \dfrac{(a+c) \cdot h}{2}$

Raute: Die Diagonalen zerlegen die Raute in vier gleiche rechtwinklige Dreiecke: $A = \dfrac{e \cdot f}{2}$

Ein weiterer fortgeschrittener Gedanke: Du kannst zusammengesetzte Flächen berechnen, indem du eine grosse Form in mehrere bekannte Teilflächen zerlegst. Ein Grundstück in L-Form besteht zum Beispiel aus zwei Rechtecken. Du berechnest jedes Rechteck separat und addierst die Ergebnisse.

Umgekehrt funktioniert das auch. Du kannst eine Teilfläche abziehen. Ein Fenster in einer Wand: Du berechnest die gesamte Wandfläche und ziehst die Fensterfläche ab. So erhältst du die Fläche, die du tapezieren oder streichen musst.

Diese Zerlegungsstrategie ist eines der wichtigsten Werkzeuge in der Geometrie. Sie wird dir noch sehr oft begegnen – beim Berechnen von Körpern, bei Konstruktionsaufgaben und in der Oberstufe.

Beispiel:

Beispiel 5: Zusammengesetzte Fläche

Eine Sporttribüne hat im Querschnitt die Form eines Trapezes mit einem rechteckigen Aufenthaltsraum darunter. Das Trapez hat die parallelen Seiten $a = 12 \, \text{m}$ (oben) und $c = 20 \, \text{m}$ (unten) sowie die Höhe $h_T = 6 \, \text{m}$. Darunter liegt ein Rechteck mit der Breite $20 \, \text{m}$ und der Höhe $h_R = 4 \, \text{m}$. Berechne die gesamte Querschnittsfläche.

Lösung:

Fläche des Trapezes:

$A_T = \frac{(12 \, \text{m} + 20 \, \text{m}) \cdot 6 \, \text{m}}{2} = \frac{32 \, \text{m} \cdot 6 \, \text{m}}{2} = \frac{192 \, \text{m}^2}{2} = 96 \, \text{m}^2$

Fläche des Rechtecks:

$A_R = 20 \, \text{m} \cdot 4 \, \text{m} = 80 \, \text{m}^2$

Gesamtfläche:

$A_{\text{gesamt}} = A_T + A_R = 96 \, \text{m}^2 + 80 \, \text{m}^2 = 176 \, \text{m}^2$

Die gesamte Querschnittsfläche beträgt $176 \, \text{m}^2$.

Übungen

Löse die folgenden Aufgaben. Die Lösungswege findest du am Ende des Artikels. Die Aufgaben werden von Stufe zu Stufe anspruchsvoller.

Aufgabe 1 (Quadrat – einfach) Ein quadratischer Gemüsegarten hat eine Seitenlänge von $9 \, \text{m}$. Berechne die Fläche.

Aufgabe 2 (Rechteck – einfach) Ein Blatt Papier ist $29{,}7 \, \text{cm}$ lang und $21 \, \text{cm}$ breit. Berechne den Flächeninhalt.

Aufgabe 3 (Parallelogramm – einfach) Ein Parallelogramm hat die Grundseite $g = 14 \, \text{cm}$ und die Höhe $h = 9 \, \text{cm}$. Wie gross ist die Fläche?

Aufgabe 4 (Raute – einfach) Eine Raute hat die Diagonalen $e = 12 \, \text{cm}$ und $f = 8 \, \text{cm}$. Berechne die Fläche.

Aufgabe 5 (Trapez – mittel) Ein Trapez hat die parallelen Seiten $a = 7 \, \text{cm}$ und $c = 13 \, \text{cm}$ sowie die Höhe $h = 5 \, \text{cm}$. Berechne die Fläche.

Aufgabe 6 (Rechteck – mittel, Umrechnung nötig) Ein Rasen ist $3 \, \text{m}$ breit und $150 \, \text{cm}$ lang. Wie gross ist die Rasenfläche in $\text{m}^2$?

Aufgabe 7 (Parallelogramm – mittel, Ablenkung) Ein Parallelogramm hat die Grundseite $g = 11 \, \text{m}$, die Höhe $h = 7 \, \text{m}$ und die schräge Seite $s = 9 \, \text{m}$. Berechne die Fläche.

Aufgabe 8 (Trapez – anspruchsvoll) Ein trapezförmiges Schwimmbecken ist oben $8 \, \text{m}$ breit, unten $5 \, \text{m}$ breit und $25 \, \text{m}$ lang. Berechne die Bodenfläche. (Hinweis: Betrachte den Grundriss als Trapez.)

Aufgabe 9 (Zusammengesetzte Fläche – anspruchsvoll) Ein Schulzimmer ist $8 \, \text{m}$ lang und $6 \, \text{m}$ breit. An einer Wand hängen drei gleich grosse rechteckige Tafeln, jede $2 \, \text{m}$ breit und $1 \, \text{m}$ hoch. Wie gross ist die freie Wandfläche der $8 \, \text{m}$ langen Wand?

Aufgabe 10 (Transfer – anspruchsvoll) Ein Grundstück hat die Form eines Parallelogramms mit der Grundseite $g = 40 \, \text{m}$ und der Höhe $h = 30 \, \text{m}$. In der Mitte liegt ein rechteckiger Teich mit den Abmessungen $10 \, \text{m} \times 6 \, \text{m}$. Wie gross ist die bepflanzbare Fläche rund um den Teich?

Das Wichtigste in Kürze

Vierecke mit besonderen Eigenschaften haben einfache Flächenformeln. Beim Quadrat gilt $A = a^2$. Beim Rechteck gilt $A = a \cdot b$. Beim Parallelogramm und bei der Raute gilt $A = g \cdot h$. Die Raute lässt sich auch mit den Diagonalen berechnen: $A = \dfrac{e \cdot f}{2}$. Beim Trapez gilt $A = \dfrac{(a+c) \cdot h}{2}$.

Alle Formeln basieren auf demselben Grundprinzip: Grundseite mal Höhe. Dabei ist die Höhe immer senkrecht zur Grundseite – niemals die schräge Seite. Die Flächeneinheit ist immer das Quadrat der Längeneinheit. Zusammengesetzte Formen berechnest du, indem du sie in bekannte Teilflächen zerlegst und addierst (oder subtrahierst).

Quiz

❓ Frage: Ein Rechteck hat die Seitenlängen $a = 12 \, \text{cm}$ und $b = 5 \, \text{cm}$. Wie gross ist seine Fläche?

Lösung anzeigen

Formel: $A = a \cdot b$ $A = 12 \, \text{cm} \cdot 5 \, \text{cm} = 60 \, \text{cm}^2$ Die Fläche beträgt $60 \, \text{cm}^2$.

❓ Frage: Ein Parallelogramm hat die Grundseite $g = 8 \, \text{m}$ und die Höhe $h = 6 \, \text{m}$. Die schräge Seite beträgt $7 \, \text{m}$. Berechne die Fläche.

Lösung anzeigen

Formel: $A = g \cdot h$ (die schräge Seite wird nicht benötigt) $A = 8 \, \text{m} \cdot 6 \, \text{m} = 48 \, \text{m}^2$ Die Fläche beträgt $48 \, \text{m}^2$.

❓ Frage: Eine Raute hat die Diagonalen $e = 10 \, \text{cm}$ und $f = 14 \, \text{cm}$. Wie gross ist die Fläche?

Lösung anzeigen

Formel: $A = \dfrac{e \cdot f}{2}$ $A = \frac{10 \, \text{cm} \cdot 14 \, \text{cm}}{2} = \frac{140 \, \text{cm}^2}{2} = 70 \, \text{cm}^2$ Die Fläche beträgt $70 \, \text{cm}^2$.

❓ Frage: Ein Trapez hat die parallelen Seiten $a = 4 \, \text{m}$ und $c = 6 \, \text{m}$ sowie die Höhe $h = 3 \, \text{m}$. Berechne die Fläche.

Lösung anzeigen

Formel: $A = \dfrac{(a+c) \cdot h}{2}$ $A = \frac{(4 \, \text{m} + 6 \, \text{m}) \cdot 3 \, \text{m}}{2} = \frac{10 \, \text{m} \cdot 3 \, \text{m}}{2} = \frac{30 \, \text{m}^2}{2} = 15 \, \text{m}^2$ Die Fläche beträgt $15 \, \text{m}^2$.

❓ Frage: Ein quadratisches Pflasterfeld hat eine Seitenlänge von $15 \, \text{m}$. In der Mitte liegt ein rechteckiger Brunnen mit $3 \, \text{m}$ Länge und $2 \, \text{m}$ Breite. Wie gross ist die gepflasterte Fläche ohne den Brunnen?

Lösung anzeigen

Fläche des Quadrats: $A_Q = 15 \, \text{m} \cdot 15 \, \text{m} = 225 \, \text{m}^2$ Fläche des Brunnens: $A_B = 3 \, \text{m} \cdot 2 \, \text{m} = 6 \, \text{m}^2$ Gepflasterte Fläche: $A = 225 \, \text{m}^2 - 6 \, \text{m}^2 = 219 \, \text{m}^2$ Die gepflasterte Fläche beträgt $219 \, \text{m}^2$.

Ausblick

Du hast jetzt die wichtigsten Vierecke und ihre Flächenformeln kennengelernt. Im nächsten Schritt lernst du, die Flächen von Dreiecken zu berechnen. Die Formel ist eng verwandt mit der Parallelogramm-Formel – denn ein Dreieck ist immer die Hälfte eines Parallelogramms.

Später in der Schule wirst du auch die Fläche des Kreises berechnen. Dort kommt die Zahl $\pi$ ins Spiel. Und in der Oberstufe berechnest du nicht mehr nur Flächen in der Ebene, sondern auch Oberflächen von Körpern wie Würfeln, Prismen und Zylindern. Alles baut auf dem auf, was du heute gelernt hast.

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 1

Gegeben: $a = 9 \, \text{m}$

Formel: $A = a^2$

$A = 9 \, \text{m} \cdot 9 \, \text{m} = 81 \, \text{m}^2$

Der Gemüsegarten hat eine Fläche von $81 \, \text{m}^2$.

---

Lösung zu Aufgabe 2

Gegeben: $a = 29{,}7 \, \text{cm}$, $b = 21 \, \text{cm}$

Formel: $A = a \cdot b$

$A = 29{,}7 \, \text{cm} \cdot 21 \, \text{cm} = 623{,}7 \, \text{cm}^2$

Das Blatt Papier hat einen Flächeninhalt von $623{,}7 \, \text{cm}^2$.

---

Lösung zu Aufgabe 3

Gegeben: $g = 14 \, \text{cm}$, $h = 9 \, \text{cm}$

Formel: $A = g \cdot h$

$A = 14 \, \text{cm} \cdot 9 \, \text{cm} = 126 \, \text{cm}^2$

Das Parallelogramm hat eine Fläche von $126 \, \text{cm}^2$.

---

Lösung zu Aufgabe 4

Gegeben: $e = 12 \, \text{cm}$, $f = 8 \, \text{cm}$

Formel: $A = \dfrac{e \cdot f}{2}$

$A = \frac{12 \, \text{cm} \cdot 8 \, \text{cm}}{2} = \frac{96 \, \text{cm}^2}{2} = 48 \, \text{cm}^2$

Die Raute hat eine Fläche von $48 \, \text{cm}^2$.

---

Lösung zu Aufgabe 5

Gegeben: $a = 7 \, \text{cm}$, $c = 13 \, \text{cm}$, $h = 5 \, \text{cm}$

Formel: $A = \dfrac{(a+c) \cdot h}{2}$

$A = \frac{(7 \, \text{cm} + 13 \, \text{cm}) \cdot 5 \, \text{cm}}{2} = \frac{20 \, \text{cm} \cdot 5 \, \text{cm}}{2} = \frac{100 \, \text{cm}^2}{2} = 50 \, \text{cm}^2$

Das Trapez hat eine Fläche von $50 \, \text{cm}^2$.

---

Lösung zu Aufgabe 6

Zuerst Einheiten angleichen: $150 \, \text{cm} = 1{,}5 \, \text{m}$

Gegeben: $a = 3 \, \text{m}$, $b = 1{,}5 \, \text{m}$

Formel: $A = a \cdot b$

$A = 3 \, \text{m} \cdot 1{,}5 \, \text{m} = 4{,}5 \, \text{m}^2$

Die Rasenfläche beträgt $4{,}5 \, \text{m}^2$.

---

Lösung zu Aufgabe 7

Gegeben: $g = 11 \, \text{m}$, $h = 7 \, \text{m}$, $s = 9 \, \text{m}$ (schräge Seite, wird nicht benötigt)

Formel: $A = g \cdot h$

$A = 11 \, \text{m} \cdot 7 \, \text{m} = 77 \, \text{m}^2$

Die Fläche des Parallelogramms beträgt $77 \, \text{m}^2$. Die schräge Seite $s = 9 \, \text{m}$ ist eine Ablenkung.

---

Lösung zu Aufgabe 8

Der Grundriss des Schwimmbeckens ist ein Trapez.

Gegeben: $a = 8 \, \text{m}$, $c = 5 \, \text{m}$, $h = 25 \, \text{m}$

Formel: $A = \dfrac{(a+c) \cdot h}{2}$

$A = \frac{(8 \, \text{m} + 5 \, \text{m}) \cdot 25 \, \text{m}}{2} = \frac{13 \, \text{m} \cdot 25 \, \text{m}}{2} = \frac{325 \, \text{m}^2}{2} = 162{,}5 \, \text{m}^2$

Die Bodenfläche des Schwimmbeckens beträgt $162{,}5 \, \text{m}^2$.

---

Lösung zu Aufgabe 9

Fläche der gesamten Wand: $A_W = 8 \, \text{m} \cdot 3 \, \text{m}$

Die Wandhöhe ist nicht gegeben. Für diese Aufgabe nehmen wir an, dass die relevante Wandfläche nur die Breite $8 \, \text{m}$ und die Tafelhöhe $1 \, \text{m}$ relevant ist. Wir berechnen die Fläche der drei Tafeln und die freibleibende Fläche:

Fläche einer Tafel: $A_T = 2 \, \text{m} \cdot 1 \, \text{m} = 2 \, \text{m}^2$

Fläche von drei Tafeln: $3 \cdot 2 \, \text{m}^2 = 6 \, \text{m}^2$

Gesamte Wandfläche (Breite $8 \, \text{m}$, Höhe $3 \, \text{m}$ als Standardhöhe): $A_W = 8 \, \text{m} \cdot 3 \, \text{m} = 24 \, \text{m}^2$

Freie Wandfläche:

$A = 24 \, \text{m}^2 - 6 \, \text{m}^2 = 18 \, \text{m}^2$

Die freie Wandfläche beträgt $18 \, \text{m}^2$.

---

Lösung zu Aufgabe 10

Fläche des Parallelogramms:

$A_P = g \cdot h = 40 \, \text{m} \cdot 30 \, \text{m} = 1200 \, \text{m}^2$

Fläche des rechteckigen Teiches:

$A_T = 10 \, \text{m} \cdot 6 \, \text{m} = 60 \, \text{m}^2$

Bepflanzbare Fläche:

$A = A_P - A_T = 1200 \, \text{m}^2 - 60 \, \text{m}^2 = 1140 \, \text{m}^2$

Die bepflanzbare Fläche rund um den Teich beträgt $1140 \, \text{m}^2$.