Flächen berechnen: Quadrat, Rechteck, Parallelogramm & Co.

Stell dir vor, du möchtest dein Zimmer mit einem neuen Teppich auslegen. Der Verkäufer fragt dich: “Wie gross ist dein Zimmer?” Du weisst, dass es vier Ecken hat und die Wände gerade sind. Aber wie findest du heraus, wie viel Teppich du brauchst?

Oder denk an einen Bauern, der sein Feld düngen will. Er muss wissen, wie viel Fläche sein Feld hat. Nur so kann er die richtige Menge Dünger kaufen. Das Feld ist kein einfaches Rechteck – eine Seite verläuft schräg. Trotzdem lässt sich die Fläche berechnen.

In diesem Kapitel lernst du, wie du die Flächen verschiedener Vierecke bestimmst. Du wirst sehen: Jede Form hat ihre eigene Formel. Aber alle basieren auf dem gleichen Grundprinzip.

Das Grundprinzip: Länge mal Breite

Beim Teppichkauf zählst du im Kopf, wie viele Quadratmeter du brauchst. Ein Quadratmeter ist ein Quadrat mit einer Seitenlänge von einem Meter. Du überlegst: Wie viele solcher Quadrate passen in mein Zimmer?

Angenommen, dein Zimmer ist 4 Meter lang und 3 Meter breit. Du könntest nun Reihe für Reihe zählen: In der ersten Reihe passen 4 Quadrate. Das Gleiche gilt für die zweite und dritte Reihe. Insgesamt: $4 + 4 + 4 = 12$ Quadrate.

Schneller geht es mit Multiplikation: $4 \cdot 3 = 12$ Quadratmeter. Das ist das Grundprinzip aller Flächenberechnungen.

Die besonderen Vierecke im Überblick

Vierecke haben – wie der Name sagt – vier Ecken und vier Seiten. Aber nicht alle Vierecke sind gleich. Manche haben besondere Eigenschaften, die die Flächenberechnung vereinfachen.

Das Quadrat

Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten. Alle Winkel betragen 90 Grad. Die Seite nennen wir $a$.

DEFINITION

Flächenformel Quadrat:

$A = a \cdot a = a^2$

Dabei ist $a$ die Seitenlänge des Quadrats.

Das Quadrat ist der einfachste Fall. Du multiplizierst die Seite mit sich selbst. Deshalb sagen wir auch “a zum Quadrat” – der Name kommt von dieser geometrischen Figur.

Das Rechteck

Ein Rechteck hat vier rechte Winkel. Die gegenüberliegenden Seiten sind gleich lang. Wir nennen die längere Seite $a$ (Länge) und die kürzere $b$ (Breite).

DEFINITION

Flächenformel Rechteck:

$A = a \cdot b$

Dabei ist $a$ die Länge und $b$ die Breite des Rechtecks.

Dein Zimmer ist vermutlich ein Rechteck. Du misst Länge und Breite und multiplizierst sie miteinander.

Das Parallelogramm

Ein Parallelogramm sieht aus wie ein “verschobenes” Rechteck. Die gegenüberliegenden Seiten sind parallel und gleich lang. Aber die Winkel sind keine 90 Grad.

Hier kommt ein Trick: Stell dir vor, du schneidest ein Dreieck auf der einen Seite ab. Dann schiebst du es auf die andere Seite. Was entsteht? Ein Rechteck!

Deshalb funktioniert die Formel ähnlich. Aber Achtung: Du brauchst die Höhe $h$, nicht die schräge Seite.

DEFINITION

Flächenformel Parallelogramm:

$A = g \cdot h$

Dabei ist $g$ die Grundseite und $h$ die Höhe (senkrecht zur Grundseite).

Häufiger Fehler: Viele verwechseln die schräge Seite mit der Höhe. Die Höhe steht immer senkrecht auf der Grundseite. Sie ist kürzer als die schräge Seite. Miss oder berechne immer die senkrechte Höhe!

Die Raute (Rhombus)

Eine Raute hat vier gleich lange Seiten – wie ein Quadrat. Aber die Winkel sind nicht 90 Grad. Die Raute sieht aus wie ein “auf die Spitze gestelltes” Quadrat.

Für die Raute gibt es zwei Formeln. Die erste nutzt Grundseite und Höhe (wie beim Parallelogramm). Die zweite nutzt die Diagonalen $e$ und $f$.

DEFINITION

Flächenformeln Raute:

$A = g \cdot h$

oder mit den Diagonalen:

$A = \frac{e \cdot f}{2}$

Die Diagonalen einer Raute halbieren sich gegenseitig im rechten Winkel. Deshalb funktioniert die zweite Formel.

Das Trapez

Ein Trapez hat nur ein Paar parallele Seiten. Diese nennen wir $a$ (oben) und $c$ (unten). Die Höhe $h$ ist der Abstand zwischen den parallelen Seiten.

DEFINITION

Flächenformel Trapez:

$A = \frac{(a + c) \cdot h}{2}$

Dabei sind $a$ und $c$ die parallelen Seiten und $h$ die Höhe.

Warum diese Formel? Zwei gleiche Trapeze ergeben zusammen ein Parallelogramm. Die Grundseite dieses Parallelogramms ist $a + c$. Die Fläche eines Trapezes ist also die halbe Fläche dieses Parallelogramms.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

So gehst du bei Flächenberechnungen vor:

1. Erkenne die Form: Welches Viereck liegt vor? Achte auf parallele Seiten und Winkel.
2. Wähle die Formel: Schreibe die passende Flächenformel auf.
3. Identifiziere die Werte: Welche Längen sind gegeben? Welche brauchst du?
4. Setze ein: Ersetze die Variablen durch die gegebenen Zahlen.
5. Rechne aus: Führe die Multiplikation (und ggf. Division) durch.
6. Schreibe die Einheit: Die Flächeneinheit ist immer “Längeneinheit zum Quadrat” (z.B. $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$).

Einheiten nicht vergessen! Eine Fläche ohne Einheit ist unvollständig. Wenn die Seitenlängen in Zentimetern gegeben sind, ist die Fläche in Quadratzentimetern ($\text{cm}^2$).

Beispiele

Beispiel:

Beispiel 1: Fläche eines Quadrats

Ein quadratisches Schachbrett hat eine Seitenlänge von $40 \, \text{cm}$. Berechne die Fläche.

Lösung:

Gegeben: $a = 40 \, \text{cm}$

Formel: $A = a^2$

Einsetzen: $A = 40 \, \text{cm} \cdot 40 \, \text{cm}$

Ergebnis: $A = 1600 \, \text{cm}^2$

Das Schachbrett hat eine Fläche von $1600 \, \text{cm}^2$ (oder $0{,}16 \, \text{m}^2$).

Beispiel:

Beispiel 2: Fläche eines Parallelogramms

Ein parallelogrammförmiges Grundstück hat eine Grundseite von $g = 25 \, \text{m}$. Die Höhe beträgt $h = 18 \, \text{m}$. Die schräge Seite ist $20 \, \text{m}$ lang. Wie gross ist das Grundstück?

Lösung:

Gegeben: $g = 25 \, \text{m}$, $h = 18 \, \text{m}$

Formel: $A = g \cdot h$

Einsetzen: $A = 25 \, \text{m} \cdot 18 \, \text{m}$

Ergebnis: $A = 450 \, \text{m}^2$

Beachte: Die schräge Seite ($20 \, \text{m}$) wird nicht benötigt. Nur die senkrechte Höhe zählt.

Beispiel:

Beispiel 3: Textaufgabe zum Trapez

Ein Dach hat die Form eines Trapezes. Die obere Kante misst $6 \, \text{m}$, die untere $10 \, \text{m}$. Der senkrechte Abstand zwischen den beiden Kanten beträgt $4 \, \text{m}$. Wie viele Quadratmeter Dachpappe werden benötigt?

Lösung:

Gegeben: $a = 6 \, \text{m}$, $c = 10 \, \text{m}$, $h = 4 \, \text{m}$

Formel: $A = \frac{(a + c) \cdot h}{2}$

Einsetzen: $A = \frac{(6 \, \text{m} + 10 \, \text{m}) \cdot 4 \, \text{m}}{2}$

Zwischenschritt: $A = \frac{16 \, \text{m} \cdot 4 \, \text{m}}{2} = \frac{64 \, \text{m}^2}{2}$

Ergebnis: $A = 32 \, \text{m}^2$

Für das Dach werden $32 \, \text{m}^2$ Dachpappe benötigt.

Quiz: Teste dein Wissen

❓ Frage: Ein Rechteck hat die Seitenlängen $a = 12 \, \text{cm}$ und $b = 5 \, \text{cm}$. Wie gross ist seine Fläche?

Lösung anzeigen

$A = a \cdot b = 12 \, \text{cm} \cdot 5 \, \text{cm} = 60 \, \text{cm}^2$

❓ Frage: Ein Parallelogramm hat die Grundseite $g = 8 \, \text{m}$ und die Höhe $h = 6 \, \text{m}$. Berechne die Fläche.

Lösung anzeigen

$A = g \cdot h = 8 \, \text{m} \cdot 6 \, \text{m} = 48 \, \text{m}^2$

❓ Frage: Eine Raute hat die Diagonalen $e = 10 \, \text{cm}$ und $f = 14 \, \text{cm}$. Wie gross ist die Fläche?

Lösung anzeigen

$A = \frac{e \cdot f}{2} = \frac{10 \, \text{cm} \cdot 14 \, \text{cm}}{2} = \frac{140 \, \text{cm}^2}{2} = 70 \, \text{cm}^2$