Dezimalzahlen verstehen – Von Brüchen zu Kommazahlen

Stell dir vor, du gehst in eine Bäckerei. Das Brot kostet 3 Franken und 50 Rappen. Wie schreibst du diesen Preis auf? Du könntest “3 Franken 50” schreiben. Oder kürzer: “3,50 CHF”.

Genau hier kommen Dezimalzahlen ins Spiel. Sie helfen uns, Beträge zwischen ganzen Zahlen auszudrücken. Ohne sie wäre unser Alltag ziemlich umständlich. Preise, Körpergrössen, Temperaturen – überall begegnen dir diese Zahlen mit Komma.

Was sind Dezimalzahlen?

Die Bäckerei zeigt uns bereits das Grundprinzip. Links vom Komma stehen die ganzen Franken. Rechts vom Komma stehen die Rappen – also die Teile eines Frankens.

Das Komma ist wie eine Grenze. Es trennt die “Ganzen” von den “Teilen”. Diese Teile nennen wir Dezimalstellen.

DEFINITION

Eine Dezimalzahl besteht aus einem Ganzteil und einem Dezimalteil, getrennt durch ein Komma:

$$\text{Ganzteil},\text{Dezimalteil}$$

Die Stellen nach dem Komma heissen: Zehntel, Hundertstel, Tausendstel.

$$3,547 = 3 + \frac{5}{10} + \frac{4}{100} + \frac{7}{1000}$$

Der Stellenwert nach dem Komma

Bei ganzen Zahlen kennst du bereits Einer, Zehner, Hunderter. Nach dem Komma geht es umgekehrt weiter.

Die erste Stelle nach dem Komma sind die Zehntel. Ein Zehntel ist $\frac{1}{10}$ oder $0,1$.

Die zweite Stelle sind die Hundertstel. Ein Hundertstel ist $\frac{1}{100}$ oder $0,01$.

Die dritte Stelle sind die Tausendstel. Ein Tausendstel ist $\frac{1}{1000}$ oder $0,001$.

Stell dir einen Kuchen vor. Du schneidest ihn in 10 gleiche Stücke. Jedes Stück ist ein Zehntel. Schneidest du jedes Stück nochmals in 10 Teile, hast du 100 winzige Stücke – Hundertstel.

Von Brüchen zu Dezimalzahlen

Dezimalzahlen und Brüche sind eng verwandt. Jeder Bruch mit 10, 100 oder 1000 im Nenner lässt sich direkt als Dezimalzahl schreiben.

Der Bruch $\frac{7}{10}$ bedeutet: 7 Zehntel. Als Dezimalzahl: $0,7$.

Der Bruch $\frac{23}{100}$ bedeutet: 23 Hundertstel. Als Dezimalzahl: $0,23$.

Der Bruch $\frac{9}{1000}$ bedeutet: 9 Tausendstel. Als Dezimalzahl: $0,009$.

Die Anzahl der Nullen im Nenner zeigt dir, wie viele Stellen nach dem Komma du brauchst.

Häufiger Fehler: Führende Nullen vergessen

Bei $\frac{9}{1000}$ schreiben viele Schüler $0,9$ statt $0,009$. Zähle die Nullen im Nenner! Bei 1000 sind es drei Nullen. Also brauchst du drei Stellen nach dem Komma. Die 9 steht ganz rechts, davor kommen Nullen: $0,009$.

Die Zahlenbereiche im Überblick

Dezimalzahlen gehören zu einem grösseren System von Zahlen. Schauen wir uns an, wo sie einzuordnen sind.

Natürliche Zahlen

Die natürlichen Zahlen sind deine ersten Bekannten: $1, 2, 3, 4, 5, \ldots$

Mit ihnen zählst du Äpfel, Bücher oder Freunde. Man kann sie nicht teilen, und sie sind immer positiv.

$$\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, 5, \ldots\}$$

Manchmal zählt auch die Null dazu. Dann schreibt man $\mathbb{N}_0$.

Ganze Zahlen

Was passiert, wenn du etwas schuldest? Du brauchst negative Zahlen. Die ganzen Zahlen erweitern die natürlichen Zahlen um Null und negative Zahlen.

$$\mathbb{Z} = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}$$

Das Thermometer zeigt $-5$ Grad. Dein Konto hat $-20$ Franken. Negative Zahlen beschreiben “weniger als nichts”.

Rationale Zahlen

Hier kommen endlich die Dezimalzahlen ins Spiel! Rationale Zahlen umfassen alle Brüche und damit auch alle Dezimalzahlen.

$$\mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} \mid a, b \in \mathbb{Z}, \, b \neq 0 \right\}$$

Diese Formel bedeutet: Jede Zahl, die sich als Bruch schreiben lässt, ist rational. Dazu gehören:

• Ganze Zahlen wie $5 = \frac{5}{1}$
• Endliche Dezimalzahlen wie $0,75 = \frac{3}{4}$
• Periodische Dezimalzahlen wie $0,333\ldots = \frac{1}{3}$

Wie hängen die Zahlenbereiche zusammen?

Stell dir russische Puppen vor. Die kleinste Puppe steckt in der nächstgrösseren.

Die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ stecken in den ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$. Die ganzen Zahlen stecken in den rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$.

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$$

Jede natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl. Jede ganze Zahl ist auch eine rationale Zahl.

Schritt-für-Schritt: Dezimalzahlen umwandeln

So wandelst du einen Bruch in eine Dezimalzahl um:

1. Prüfe den Nenner. Ist es 10, 100 oder 1000?
2. Falls ja: Der Zähler gibt die Ziffern. Der Nenner bestimmt die Stellenzahl.
3. Schreibe die Dezimalzahl mit so vielen Stellen nach dem Komma wie Nullen im Nenner.
4. Falls nötig, fülle mit führenden Nullen auf.

Und umgekehrt, von Dezimalzahl zu Bruch:

1. Zähle die Stellen nach dem Komma.
2. Der Nenner ist $10^n$ (10 hoch Anzahl Stellen).
3. Der Zähler ist die Zahl ohne Komma.
4. Kürze den Bruch wenn möglich.

Beispiel:

Beispiel 1: Bruch in Dezimalzahl umwandeln

Wandle $\frac{3}{10}$ in eine Dezimalzahl um.

Der Nenner ist 10. Das bedeutet: eine Stelle nach dem Komma.

Der Zähler ist 3. Diese Ziffer kommt nach dem Komma.

$$\frac{3}{10} = 0,3$$

Die Lösung ist $0,3$ (sprich: null Komma drei).

Beispiel:

Beispiel 2: Dezimalzahl in Bruch umwandeln

Wandle $0,45$ in einen Bruch um.

Nach dem Komma stehen zwei Ziffern. Also ist der Nenner $100$.

Die Zahl ohne Komma ist $45$. Das ist der Zähler.

$$0,45 = \frac{45}{100}$$

Jetzt kürzen: Beide Zahlen sind durch 5 teilbar.

$$\frac{45}{100} = \frac{45 \div 5}{100 \div 5} = \frac{9}{20}$$

Die Lösung ist $\frac{9}{20}$.

Beispiel:

Beispiel 3: Textaufgabe zum Zahlenbereich

Lisa misst ihre Körpergrösse: 1,52 Meter. Zu welchen Zahlenbereichen gehört diese Zahl?

Prüfen wir Schritt für Schritt:

Ist $1,52$ eine natürliche Zahl? Nein, denn sie ist keine ganze Zahl zum Zählen.

Ist $1,52$ eine ganze Zahl? Nein, denn sie liegt zwischen 1 und 2.

Ist $1,52$ eine rationale Zahl? Ja! Wir können sie als Bruch schreiben:

$$1,52 = \frac{152}{100} = \frac{38}{25}$$

Die Lösung: $1,52 \in \mathbb{Q}$, aber $1,52 \notin \mathbb{Z}$ und $1,52 \notin \mathbb{N}$.

Achtung beim Kürzen

Nicht jeder Bruch lässt sich kürzen. Prüfe immer, ob Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler haben. Der Bruch $\frac{23}{100}$ lässt sich nicht kürzen, weil 23 eine Primzahl ist.

Teste dein Wissen

❓ Frage: Welche Dezimalzahl entspricht dem Bruch $\frac{7}{100}$?

Lösung anzeigen

Die Lösung ist $0,07$.

Der Nenner 100 hat zwei Nullen. Also brauchst du zwei Stellen nach dem Komma. Die 7 steht an der Hunderstelstelle.

❓ Frage: Zu welchen Zahlenbereichen gehört die Zahl $-8$?

Lösung anzeigen

$-8$ gehört zu $\mathbb{Z}$ (ganze Zahlen) und zu $\mathbb{Q}$ (rationale Zahlen).

Sie gehört nicht zu $\mathbb{N}$, weil natürliche Zahlen positiv sind.

Als Bruch geschrieben: $-8 = \frac{-8}{1}$, also ist sie rational.

❓ Frage: Wandle $0,125$ in einen vollständig gekürzten Bruch um.

Lösung anzeigen

Drei Stellen nach dem Komma bedeuten Nenner $1000$.

$$0,125 = \frac{125}{1000}$$

Kürzen durch 125:

$$\frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$$

Die Lösung ist $\frac{1}{8}$.