Periodische Dezimalzahlen verstehen und umwandeln

Stell dir vor, du teilst eine Pizza unter drei Freunden auf. Jeder bekommt genau ein Drittel. Aber wie viel ist ein Drittel als Kommazahl? Du nimmst den Taschenrechner und tippst $1 : 3$ ein. Das Ergebnis: $0.333333...$

Die Dreien hören nie auf. Egal wie lange du wartest, es kommen immer mehr Dreien. Du könntest den ganzen Tag hinschreiben und wärst nie fertig. Solche Zahlen, bei denen sich Ziffern endlos wiederholen, begegnen dir öfter als du denkst.

Was sind periodische Dezimalzahlen?

Wenn du einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandelst, gibt es zwei Möglichkeiten. Entweder die Division geht irgendwann auf. Dann erhältst du eine abbrechende Dezimalzahl wie $0.5$ oder $0.25$.

Oder die Division geht nie auf. Dann wiederholen sich eine oder mehrere Ziffern unendlich oft. Das nennt man eine periodische Dezimalzahl.

DEFINITION

Eine periodische Dezimalzahl ist eine Dezimalzahl, bei der sich ab einer bestimmten Stelle eine Ziffernfolge unendlich oft wiederholt. Diese sich wiederholende Ziffernfolge heisst Periode.

Die Periode wird mit einem Strich über den sich wiederholenden Ziffern gekennzeichnet:

$$\frac{1}{3} = 0.\overline{3} \quad \text{(sprich: null Komma Periode drei)}$$$$\frac{1}{7} = 0.\overline{142857}$$

Der Strich über der Ziffer zeigt dir: Diese Ziffer (oder Zifferngruppe) wiederholt sich unendlich. Du musst also nicht $0.333333...$ schreiben. Stattdessen schreibst du elegant $0.\overline{3}$.

Rein-periodisch oder gemischt-periodisch?

Es gibt zwei Arten von periodischen Dezimalzahlen.

Bei rein-periodischen Dezimalzahlen beginnt die Periode direkt nach dem Komma. Beispiel: $0.\overline{3}$ oder $0.\overline{6}$.

Bei gemischt-periodischen Dezimalzahlen stehen erst einige Ziffern, die sich nicht wiederholen. Danach kommt die Periode. Beispiel: $0.1\overline{6}$ (das ist $\frac{1}{6}$). Die $1$ nach dem Komma gehört nicht zur Periode. Nur die $6$ wiederholt sich.

Wie erkennst du die Periode?

Wenn du eine Division durchführst, beobachte die Reste. Sobald ein Rest zum zweiten Mal auftaucht, beginnt die Wiederholung. Ab diesem Punkt wiederholen sich alle folgenden Ziffern.

Häufiger Fehler: Viele Schüler vergessen den Periodenstrich und schreiben stattdessen drei Punkte ($0.333...$). In Tests wird oft die korrekte Schreibweise mit Periodenstrich verlangt. Achte darauf, den Strich genau über die sich wiederholenden Ziffern zu setzen – nicht mehr und nicht weniger.

Periodische Dezimalzahlen in Brüche umwandeln

Du kannst jede periodische Dezimalzahl als Bruch schreiben. Dafür gibt es eine Methode.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Nenne die Dezimalzahl $x$.
2. Zähle die Ziffern in der Periode. Diese Anzahl bestimmt, mit welcher Zehnerpotenz du multiplizierst.
3. Multipliziere $x$ mit dieser Zehnerpotenz (bei einer Ziffer: $10$, bei zwei Ziffern: $100$, usw.).
4. Subtrahiere die ursprüngliche Gleichung von der neuen.
5. Löse nach $x$ auf und kürze den Bruch.

Bei gemischt-periodischen Zahlen brauchst du einen zusätzlichen Schritt. Du musst die Zahl so verschieben, dass die Periode direkt nach dem Komma beginnt.

Kopfkino: Die Verschiebe-Methode

Stell dir die Dezimalzahl wie eine Schlange vor, die sich in den Schwanz beisst. Die Periode ist die Schleife. Wenn du mit $10$ multiplizierst, schiebst du das Komma eine Stelle nach rechts. Die Schleife bleibt gleich, aber der Anfang verschiebt sich.

Wenn du dann die ursprüngliche Zahl abziehst, löschen sich die unendlichen Schleifen gegenseitig aus. Übrig bleibt eine endliche Zahl, mit der du rechnen kannst.

Beispiele

Beispiel:

Beispiel 1: Einfache rein-periodische Dezimalzahl

Wandle $0.\overline{4}$ in einen Bruch um.

Schritt 1: Setze $x = 0.\overline{4} = 0.4444...$

Schritt 2: Die Periode hat eine Ziffer. Multipliziere mit $10$:

$$10x = 4.4444...$$

Schritt 3: Subtrahiere die erste Gleichung von der zweiten:

$$10x - x = 4.4444... - 0.4444...$$$$9x = 4$$

Schritt 4: Löse nach $x$ auf:

$$x = \frac{4}{9}$$

Ergebnis: $0.\overline{4} = \frac{4}{9}$

Beispiel:

Beispiel 2: Rein-periodische Dezimalzahl mit mehreren Ziffern

Wandle $0.\overline{27}$ in einen Bruch um.

Schritt 1: Setze $x = 0.\overline{27} = 0.272727...$

Schritt 2: Die Periode hat zwei Ziffern. Multipliziere mit $100$:

$$100x = 27.272727...$$

Schritt 3: Subtrahiere:

$$100x - x = 27.272727... - 0.272727...$$$$99x = 27$$

Schritt 4: Löse nach $x$ auf und kürze:

$$x = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$$

Ergebnis: $0.\overline{27} = \frac{3}{11}$

Beispiel:

Beispiel 3: Gemischt-periodische Dezimalzahl

Wandle $0.1\overline{6}$ in einen Bruch um.

Diese Zahl hat eine Vorperiode ($1$) und eine Periode ($6$).

Schritt 1: Setze $x = 0.1\overline{6} = 0.1666...$

Schritt 2: Verschiebe zuerst so, dass die Periode vorne steht. Multipliziere mit $10$:

$$10x = 1.666... = 1.\overline{6}$$

Schritt 3: Jetzt hast du eine rein-periodische Zahl. Multipliziere nochmals mit $10$:

$$100x = 16.666...$$

Schritt 4: Subtrahiere die Gleichung aus Schritt 2:

$$100x - 10x = 16.666... - 1.666...$$$$90x = 15$$

Schritt 5: Löse nach $x$ auf und kürze:

$$x = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}$$

Ergebnis: $0.1\overline{6} = \frac{1}{6}$

Achtung bei gemischt-periodischen Zahlen: Du musst genau hinschauen, welche Ziffern zur Periode gehören und welche nicht. Bei $0.1\overline{6}$ ist nur die $6$ periodisch. Bei $0.\overline{16}$ wären beide Ziffern periodisch – das ergibt einen anderen Bruch ($\frac{16}{99}$).

Warum ist das wichtig?

Periodische Dezimalzahlen zeigen dir etwas Besonderes. Zwischen Brüchen und Dezimalzahlen besteht eine enge Verbindung. Jeder Bruch lässt sich als Dezimalzahl schreiben. Und jede periodische Dezimalzahl lässt sich als Bruch schreiben.

Dieses Wissen hilft dir beim Kopfrechnen. Wenn du weisst, dass $\frac{1}{3} = 0.\overline{3}$ ist, kannst du schnell abschätzen. Auch in der Algebra wirst du diese Umwandlungen wieder brauchen.

Quiz

❓ Frage: Wie schreibt man $0.555...$ mit Periodenstrich?

Lösung anzeigen

$0.\overline{5}$

❓ Frage: Wandle $0.\overline{9}$ in einen Bruch um.

Lösung anzeigen

$0.\overline{9} = 1$ (Ja, wirklich! Setze $x = 0.\overline{9}$, dann ist $10x = 9.\overline{9}$. Subtraktion ergibt $9x = 9$, also $x = 1$.)

❓ Frage: Ist $0.25$ eine periodische oder eine abbrechende Dezimalzahl?

Lösung anzeigen

Eine abbrechende Dezimalzahl. Sie endet nach zwei Nachkommastellen und wiederholt sich nicht.