Erweitern und kürzen

Einleitung

Stell dir vor, du schneidest eine Pizza in 4 Teile und nimmst 2 davon. Dein Freund schneidet die gleiche Pizza in 8 Teile und nimmt 4 davon. Wer hat mehr bekommen? Natürlich niemand – ihr habt beide gleich viel! Genau dieses Prinzip steckt hinter dem Erweitern und Kürzen von Brüchen. Im Alltag begegnen dir solche Situationen ständig: beim Kochen, beim Teilen von Kosten oder beim Abmessen von Mengen. Du musst oft erkennen, wann zwei unterschiedlich aussehende Brüche eigentlich den gleichen Wert haben. Das Erweitern und Kürzen ist dein Werkzeug, um Brüche flexibel zu verändern, ohne ihren Wert zu ändern. Lass uns gemeinsam entdecken, wie das funktioniert!

Eine kleine Zeitreise

Die Geschichte der Bruchrechnung reicht weit zurück. Bereits die alten Ägypter vor über 4000 Jahren rechneten mit Brüchen. Sie verwendeten allerdings fast ausschliesslich Stammbrüche – also Brüche mit der Zahl 1 im Zähler. Das machte das Rechnen oft kompliziert.

Die Babylonier entwickelten ein ausgeklügeltes Sexagesimalsystem mit der Basis 60. Dieses System nutzen wir heute noch bei Zeitangaben und Winkeln. Die Babylonier erkannten bereits, dass man Brüche durch Multiplikation mit gleichen Zahlen verändern kann, ohne ihren Wert zu ändern.

Im antiken Griechenland beschäftigten sich Mathematiker wie Euklid intensiv mit Brüchen. Euklid entwickelte um 300 v. Chr. den nach ihm benannten Algorithmus zur Bestimmung des grössten gemeinsamen Teilers. Dieser Algorithmus ist bis heute die Grundlage für das vollständige Kürzen von Brüchen.

Der indische Mathematiker Brahmagupta formulierte im 7. Jahrhundert erstmals klare Regeln für das Rechnen mit Brüchen. Er erkannte, dass man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren oder dividieren kann. Diese Erkenntnis ist die Basis für das Erweitern und Kürzen.

Im mittelalterlichen Europa brachte Leonardo Fibonacci die arabisch-indischen Kenntnisse nach Italien. Sein Buch “Liber Abaci” von 1202 machte die Bruchrechnung in Europa bekannt. Die moderne Bruchschreibweise mit dem Bruchstrich setzte sich allerdings erst im 16. Jahrhundert durch.

Heute ist das Erweitern und Kürzen von Brüchen eine fundamentale Fertigkeit. Du brauchst sie für die gesamte höhere Mathematik, von der Algebra bis zur Analysis. Auch in Naturwissenschaften, Technik und Wirtschaft ist der sichere Umgang mit Brüchen unverzichtbar.

Die Grundlagen

Ein Bruch besteht aus zwei Teilen: dem Zähler oben und dem Nenner unten. Der Bruch $\frac{3}{4}$ bedeutet: Du teilst ein Ganzes in 4 gleiche Teile und nimmst 3 davon. Der Nenner gibt an, in wie viele Teile du teilst. Der Zähler zeigt, wie viele dieser Teile du nimmst.

Erweitern bedeutet: Du multiplizierst Zähler und Nenner mit derselben Zahl. Der Wert des Bruchs bleibt dabei gleich. Aus $\frac{2}{3}$ wird durch Erweitern mit 2 der Bruch $\frac{4}{6}$. Die beiden Brüche sind gleichwertig – sie repräsentieren dieselbe Menge.

Kürzen ist die Umkehrung des Erweiterns. Du dividierst Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl. Aus $\frac{6}{8}$ wird durch Kürzen mit 2 der Bruch $\frac{3}{4}$. Auch hier bleibt der Wert unverändert.

Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner keine gemeinsamen Teiler mehr haben ausser der 1. Man sagt auch: Der Bruch ist in seiner einfachsten Form. Der Bruch $\frac{3}{5}$ ist vollständig gekürzt, $\frac{6}{10}$ aber nicht.

Der grösste gemeinsame Teiler (ggT) ist die grösste Zahl, durch die du sowohl Zähler als auch Nenner teilen kannst. Wenn du durch den ggT kürzt, erhältst du sofort den vollständig gekürzten Bruch. Der ggT von 12 und 18 ist 6.

Gleichnamige Brüche haben denselben Nenner. Um Brüche zu vergleichen oder zu addieren, musst du sie oft gleichnamig machen. Das erreichst du durch geschicktes Erweitern.

Die Kernmethode

Erweitern – so gehst du vor:

1. Wähle eine Zahl, mit der du erweitern möchtest. Diese Zahl darf nicht 0 sein.
2. Multipliziere den Zähler mit dieser Zahl.
3. Multipliziere den Nenner mit derselben Zahl.
4. Schreibe den neuen Bruch auf.

Wichtig: Du musst Zähler und Nenner immer mit derselben Zahl multiplizieren. Nur dann bleibt der Wert gleich.

Kürzen – so gehst du vor:

1. Finde eine Zahl, die sowohl Zähler als auch Nenner teilt. Ideal ist der grösste gemeinsame Teiler.
2. Dividiere den Zähler durch diese Zahl.
3. Dividiere den Nenner durch dieselbe Zahl.
4. Schreibe den gekürzten Bruch auf.

Tipp: Wenn du nicht sofort den ggT erkennst, kürze mehrfach nacheinander. Erst durch 2, dann vielleicht nochmals durch 3.

Definition: Das Grundprinzip von Bruchzahlen - Erweitern und Kürzen

Erweitern: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \cdot n}{b \cdot n}$ für jede Zahl $n \neq 0$

Kürzen: $\dfrac{a \cdot n}{b \cdot n} = \dfrac{a}{b}$ für jede Zahl $n \neq 0$

Dabei sind $a$ der Zähler, $b$ der Nenner und $n$ die Erweiterungs- oder Kürzungszahl. Der Wert des Bruchs bleibt bei beiden Operationen unverändert.

Beispiel 1 - Einstiegsaufgabe

Aufgabe

Erweitere den Bruch $\dfrac{2}{5}$ auf den Nenner 15.

Lösungsweg

Du musst herausfinden, mit welcher Zahl du den Nenner 5 multiplizieren musst, um 15 zu erhalten.

$$\begin{align*} 5 \cdot ? &= 15 \\ ? &= 15 : 5 \\ ? &= 3 \end{align*}$$

Du musst also mit 3 erweitern. Das bedeutet: Zähler und Nenner werden beide mit 3 multipliziert.

$$\begin{align*} \frac{2}{5} &= \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} \\ &= \frac{6}{15} \end{align*}$$

Kontrolle: Der Bruch $\dfrac{6}{15}$ hat tatsächlich den Nenner 15.
Wenn du ihn durch $3$ kürzt, erhältst du wieder $\dfrac{2}{5}$.
Die Rechnung stimmt.

Beispiel 2 - Aufbauende Aufgabe

Aufgabe

Kürze den Bruch $\dfrac{18}{24}$ vollständig.

Lösungsweg

Zuerst suchst du gemeinsame Teiler von 18 und 24. Beide Zahlen sind durch 2 teilbar. Beide sind auch durch 3 teilbar. Der grösste gemeinsame Teiler ist 6.

Du kannst den Bruch in einem Schritt durch 6 kürzen:

$$\begin{align*} \frac{18}{24} &= \frac{18 : 6}{24 : 6} \\ &= \frac{3}{4} \end{align*}$$

Alternativ kannst du schrittweise kürzen. Erst durch 2:

$$\begin{align*} \frac{18}{24} &= \frac{18 : 2}{24 : 2} \\ &= \frac{9}{12} \end{align*}$$

Dann nochmals durch 3:

$$\begin{align*} \frac{9}{12} &= \frac{9 : 3}{12 : 3} \\ &= \frac{3}{4} \end{align*}$$

Der vollständig gekürzte Bruch ist $\frac{3}{4}$. Die Zahlen 3 und 4 haben keinen gemeinsamen Teiler ausser der 1.

Die häufigsten Stolpersteine bei Bruchzahlen - Erweitern und Kürzen

Here’s the formatted version with better visual structure:

---

⚠️ Achtung: Nur Zähler oder nur Nenner erweitern oder kürzen

Der häufigste Fehler ist, nur einen Teil des Bruchs zu verändern.

❌ Falsch: $\dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{5}$ (nur Zähler mit 3 multipliziert)

✅ Richtig: $\dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{15}$ (beide mit 3 multipliziert)

Merke: Was du oben machst, machst du auch unten – immer mit derselben Zahl!

---

⚠️ Achtung: Mit verschiedenen Zahlen erweitern oder kürzen

Manche multiplizieren Zähler und Nenner mit unterschiedlichen Zahlen.

❌ Falsch: $\dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{10}$ (Zähler ×3, Nenner ×2) – der Bruch ändert seinen Wert!

✅ Richtig: $\dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{10}$ (beide ×2)

Merke: Verwende immer dieselbe Zahl für beide Teile.

---

⚠️ Achtung: Addition oder Subtraktion statt Multiplikation

Einige verwechseln das Erweitern mit Addition.

❌ Falsch: $\dfrac{2}{5} = \dfrac{2+3}{5+3} = \dfrac{5}{8}$

✅ Richtig: $\dfrac{2}{5} = \dfrac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \dfrac{6}{15}$

Merke: Beim Erweitern multiplizierst du, nicht addierst!

Beispiel 3 - Komplexere Aufgabe

Aufgabe

Kürze den Bruch $\dfrac{45}{105}$ vollständig.

Lösungsweg

Bei grösseren Zahlen ist es schwieriger, den grössten gemeinsamen Teiler zu erkennen. Du kannst systematisch vorgehen.

Beide Zahlen enden auf 5, also sind sie durch 5 teilbar:

$$\begin{align*} \frac{45}{105} &= \frac{45 : 5}{105 : 5} \\ &= \frac{9}{21} \end{align*}$$

Jetzt prüfst du den neuen Bruch. Beide Zahlen sind ungerade. Sie könnten durch 3 teilbar sein. Teste: $9 : 3 = 3$ und $21 : 3 = 7$. Ja, es funktioniert!

$$\begin{align*} \frac{9}{21} &= \frac{9 : 3}{21 : 3} \\ &= \frac{3}{7} \end{align*}$$

Die Zahlen 3 und 7 sind Primzahlen und haben keinen gemeinsamen Teiler. Der vollständig gekürzte Bruch ist $\frac{3}{7}$.

Alternative: Du könntest auch direkt erkennen, dass 45 und 105 beide durch 15 teilbar sind. Dann wäre $\frac{45:15}{105:15} = \frac{3}{7}$ in einem Schritt möglich.

Beispiel 4 - Transferaufgabe aus dem Alltag

Aufgabe

Du backst Kuchen für ein Schulfest. Ein Rezept braucht $\frac{6}{8}$ Liter Milch. Du möchtest das Rezept vereinfachen. Welcher gekürzte Bruch steht auf deiner Einkaufsliste?

Lösungsweg

Du musst den Bruch $\frac{6}{8}$ kürzen. Beide Zahlen sind gerade, also durch 2 teilbar.

$$\begin{align*} \frac{6}{8} &= \frac{6 : 2}{8 : 2} \\ &= \frac{3}{4} \end{align*}$$

Die Zahlen 3 und 4 haben keinen gemeinsamen Teiler mehr. Der Bruch ist vollständig gekürzt.

Antwort: Auf deiner Einkaufsliste steht $\frac{3}{4}$ Liter Milch. Das ist übersichtlicher und leichter zu verstehen als $\frac{6}{8}$ Liter.

Praktischer Tipp: Drei Viertel Liter kannst du mit einem normalen Messbecher gut abmessen. Viele Messbecher haben Markierungen für Viertelliter.

Übungs-Sektion im Arbeitsblatt-Stil

Aufgabe 1: Erweitere $\frac{1}{3}$ auf den Nenner 12.

Aufgabe 2: Kürze $\frac{4}{12}$ vollständig.

Aufgabe 3: Erweitere $\frac{3}{7}$ mit 5.

Aufgabe 4: Kürze $\frac{15}{25}$ vollständig.

Aufgabe 5: Erweitere die Brüche $\frac{2}{3}$ und $\frac{3}{4}$ so, dass beide den Nenner 12 haben.

Aufgabe 6: Kürze $\frac{36}{48}$ vollständig.

Aufgabe 7: Ein Rezept für 4 Personen braucht $\frac{8}{12}$ kg Mehl. Schreibe den Bruch in der einfachsten Form.

Aufgabe 8: Du möchtest die Brüche $\frac{2}{5}$, $\frac{3}{10}$ und $\frac{1}{2}$ vergleichen. Erweitere alle drei auf den gemeinsamen Nenner 10.

Das Wichtigste in Kürze

Erweitern ohne Wertverlust: Beim Erweitern multiplizierst du Zähler und Nenner mit derselben Zahl. Der Bruch sieht anders aus, hat aber denselben Wert. Du nutzt das Erweitern, um Brüche gleichnamig zu machen oder um mit grösseren, bequemeren Zahlen zu arbeiten.

Kürzen für die einfachste Form: Beim Kürzen dividierst du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl. Der Bruch wird übersichtlicher und einfacher. Ein vollständig gekürzter Bruch ist die Standardform, die du als Endergebnis angibst.

Immer beide Teile gleich behandeln: Die goldene Regel lautet: Was du mit dem Zähler machst, machst du auch mit dem Nenner. Dieselbe Zahl, dieselbe Operation. Nur so bleibt der Wert des Bruchs erhalten.

Der grösste gemeinsame Teiler hilft: Um einen Bruch in einem Schritt vollständig zu kürzen, suchst du den grössten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner. Dividiere beide durch diese Zahl. Wenn du den ggT nicht sofort siehst, kürze schrittweise.

Praktische Anwendung überall: Du brauchst das Erweitern und Kürzen ständig in der Mathematik und im Alltag. Beim Bruchrechnen, beim Umrechnen von Einheiten, beim Vergleichen von Mengen und beim Lösen von Proportionsaufgaben.

Quiz - Teste dein Wissen

Frage 1: Warum bleibt beim Erweitern der Wert des Bruchs gleich?

Weil du Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizierst. Das Verhältnis zwischen beiden bleibt dadurch unverändert. Wenn du eine Pizza in 4 Teile schneidest und 2 nimmst, ist das genauso viel wie bei 8 Teilen, von denen du 4 nimmst. Mathematisch: $\frac{2}{4} = \frac{2 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{4}{8}$. Beide Brüche repräsentieren die Hälfte.

Frage 2: Wie erkennst du, ob ein Bruch vollständig gekürzt ist?

Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner keine gemeinsamen Teiler mehr haben ausser der 1. Beispiel: $\frac{3}{5}$ ist vollständig gekürzt, weil 3 und 5 Primzahlen sind. Der Bruch $\frac{4}{6}$ ist nicht vollständig gekürzt, weil beide durch 2 teilbar sind. Du kannst ihn zu $\frac{2}{3}$ kürzen.

Frage 3: Welchen Fehler würdest du bei dieser Rechnung machen: $\frac{2}{3} = \frac{2+4}{3+4} = \frac{6}{7}$?

Der Fehler ist, dass du addiert statt multipliziert hast. Beim Erweitern musst du Zähler und Nenner multiplizieren, nicht addieren. Richtig wäre: $\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$. Addition verändert das Verhältnis zwischen Zähler und Nenner, deshalb ändert sich der Wert des Bruchs komplett.

Ausblick - Der nächste Schritt auf deiner Mathe-Reise

Jetzt beherrschst du das Erweitern und Kürzen von Brüchen. Damit bist du bereit für das Addieren und Subtrahieren von Brüchen. Dort wirst du deine neuen Fähigkeiten direkt anwenden. Denn um Brüche zu addieren, musst du sie erst gleichnamig machen – also geschickt erweitern. Das Kürzen brauchst du, um dein Endergebnis in der einfachsten Form darzustellen. Ohne sicheres Erweitern und Kürzen kommst du bei der Bruchrechnung nicht weiter. Du hast jetzt das Fundament gelegt!

Lösungen zur Übungs-Sektion

Lösung zu Aufgabe 1:

Um von Nenner 3 auf Nenner 12 zu kommen, musst du herausfinden: $3 \cdot ? = 12$. Die Antwort ist 4. Also erweiterst du mit 4:

$$\begin{align*} \frac{1}{3} &= \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} \\ &= \frac{4}{12} \end{align*}$$

Lösung zu Aufgabe 2:

Beide Zahlen sind durch 4 teilbar. Das ist der grösste gemeinsame Teiler:

$$\begin{align*} \frac{4}{12} &= \frac{4 : 4}{12 : 4} \\ &= \frac{1}{3} \end{align*}$$

Der vollständig gekürzte Bruch ist $\frac{1}{3}$.

Lösung zu Aufgabe 3:

Du multiplizierst Zähler und Nenner jeweils mit 5:

$$\begin{align*} \frac{3}{7} &= \frac{3 \cdot 5}{7 \cdot 5} \\ &= \frac{15}{35} \end{align*}$$

Lösung zu Aufgabe 4:

Beide Zahlen sind durch 5 teilbar:

$$\begin{align*} \frac{15}{25} &= \frac{15 : 5}{25 : 5} \\ &= \frac{3}{5} \end{align*}$$

Die Zahlen 3 und 5 sind Primzahlen, der Bruch ist vollständig gekürzt.

Lösung zu Aufgabe 5:

Für $\frac{2}{3}$: Du musst mit 4 erweitern ($3 \cdot 4 = 12$):

$$\begin{align*} \frac{2}{3} &= \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} \\ &= \frac{8}{12} \end{align*}$$

Für $\frac{3}{4}$: Du musst mit 3 erweitern ($4 \cdot 3 = 12$):

$$\begin{align*} \frac{3}{4} &= \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} \\ &= \frac{9}{12} \end{align*}$$

Beide Brüche haben jetzt den Nenner 12: $\frac{8}{12}$ und $\frac{9}{12}$.

Lösung zu Aufgabe 6:

Der grösste gemeinsame Teiler von 36 und 48 ist 12:

$$\begin{align*} \frac{36}{48} &= \frac{36 : 12}{48 : 12} \\ &= \frac{3}{4} \end{align*}$$

Alternativ kannst du schrittweise kürzen. Erst durch 2, dann durch 2, dann durch 3. Das Ergebnis ist dasselbe.

Lösung zu Aufgabe 7:

Du musst $\frac{8}{12}$ kürzen. Beide Zahlen sind durch 4 teilbar:

$$\begin{align*} \frac{8}{12} &= \frac{8 : 4}{12 : 4} \\ &= \frac{2}{3} \end{align*}$$

Das Rezept braucht also $\frac{2}{3}$ kg Mehl für 4 Personen.

Lösung zu Aufgabe 8:

Für $\frac{2}{5}$: Erweitere mit 2 ($5 \cdot 2 = 10$):

$$\begin{align*} \frac{2}{5} &= \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} \\ &= \frac{4}{10} \end{align*}$$

Für $\frac{3}{10}$: Der Nenner ist bereits 10, du musst nichts tun:

$\frac{3}{10} = \frac{3}{10}$

Für $\frac{1}{2}$: Erweitere mit 5 ($2 \cdot 5 = 10$):

$$\begin{align*} \frac{1}{2} &= \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} \\ &= \frac{5}{10} \end{align*}$$

Alle drei Brüche haben jetzt den Nenner 10: $\frac{4}{10}$, $\frac{3}{10}$ und $\frac{5}{10}$. Jetzt kannst du leicht sehen: $\frac{3}{10} < \frac{4}{10} < \frac{5}{10}$, also $\frac{3}{10} < \frac{2}{5} < \frac{1}{2}$.