Bruchzahlen - Brüche vergleichen und ordnen

Wer hat mehr Pizza bekommen: derjenige mit drei Vierteln oder derjenige mit vier Fünfteln? Bei ganzen Zahlen siehst du sofort, welche grösser ist. Bei Brüchen ist das nicht immer offensichtlich. Doch mit den richtigen Tricks erkennst du schnell, welcher Bruch der grössere ist.

Wann ist ein Bruch grösser?

Um Brüche zu vergleichen, musst du sie “auf eine gemeinsame Sprache” bringen. Es gibt mehrere Methoden, die in verschiedenen Situationen nützlich sind.

Methode 1: Gleiche Nenner

Die einfachste Methode funktioniert, wenn beide Brüche denselben Nenner haben.

DEFINITION

Bei Brüchen mit gleichem Nenner gilt:

$\frac{a}{n} > \frac{b}{n} \quad \text{wenn} \quad a > b$

Der Bruch mit dem grösseren Zähler ist grösser.

Warum?

Beide Brüche teilen das Ganze in gleich viele Teile (der Nenner ist gleich). Wer mehr solcher Teile hat (grösserer Zähler), hat insgesamt mehr.

Beispiel: $\frac{5}{8} > \frac{3}{8}$, weil 5 > 3.

Methode 2: Gleiche Zähler

Wenn die Zähler gleich sind, wird es interessant.

DEFINITION

Bei Brüchen mit gleichem Zähler gilt:

$\frac{n}{a} > \frac{n}{b} \quad \text{wenn} \quad a < b$

Der Bruch mit dem kleineren Nenner ist grösser.

Warum?

Der Nenner gibt an, in wie viele Teile das Ganze geteilt wird. Je mehr Teile, desto kleiner ist jedes einzelne Stück. Wenn du von kleineren Stücken gleich viele hast, hast du insgesamt weniger.

Beispiel: $\dfrac{3}{4} > \dfrac{3}{7}$, weil Viertel grösser sind als Siebtel.

Häufiger Denkfehler: “Grösserer Nenner = grösserer Bruch” ist falsch! Bei gleichem Zähler ist es genau umgekehrt. $\frac{1}{2}$ ist viel mehr als $\frac{1}{100}$.

Methode 3: Auf gleichen Nenner bringen

Wenn weder Zähler noch Nenner gleich sind, erweitere die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Finde das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner.
2. Erweitere beide Brüche auf diesen Nenner.
3. Vergleiche die Zähler.

Beispiel:

Beispiel 1: Vergleich durch Erweitern

Vergleiche $\frac{2}{3}$ und $\frac{3}{5}$.

Lösung:

Das kgV von 3 und 5 ist 15.

$$\begin{aligned} \frac{2}{3} &= \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15} \\ \frac{3}{5} &= \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{9}{15} \end{aligned}$$

Vergleich: $\dfrac{10}{15} > \dfrac{9}{15}$, also $\dfrac{2}{3} > \dfrac{3}{5}$

Methode 4: Kreuzprodukt (Schnellmethode)

Diese Methode ist ein Shortcut und funktioniert immer.

DEFINITION

Um $\dfrac{a}{b}$ und $\dfrac{c}{d}$ zu vergleichen, bilde die Kreuzprodukte:

• Berechne $a \cdot d$ (Zähler links × Nenner rechts)
• Berechne $b \cdot c$ (Nenner links × Zähler rechts)

$\frac{a}{b} \gtreqless \frac{c}{d} \quad \Leftrightarrow \quad a \cdot d \gtreqless b \cdot c$

Das Produkt mit dem Zähler eines Bruchs steht auf der Seite dieses Bruchs.

So merkst du es dir

Zeichne gedanklich Pfeile diagonal durch die Brüche. Das Produkt “gehört” zu dem Bruch, dessen Zähler du verwendest.

Beispiel:

Beispiel 2: Kreuzprodukt-Methode

Vergleiche $\dfrac{5}{7}$ und $\dfrac{7}{9}$.

Lösung:

Kreuzprodukte berechnen:

• $5 \cdot 9 = 45$ (gehört zu $\dfrac{5}{7}$)
• $7 \cdot 7 = 49$ (gehört zu $\dfrac{7}{9}$)

Da $45 < 49$, gilt: $\dfrac{5}{7} < \dfrac{7}{9}$

Achtung: Bei der Kreuzprodukt-Methode ist die Reihenfolge wichtig! Das Produkt mit dem Zähler des linken Bruchs steht immer links, das mit dem Zähler des rechten Bruchs rechts.

Methode 5: Umwandlung in Dezimalzahlen

Du kannst Brüche auch in Dezimalzahlen umwandeln und dann vergleichen.

Beispiel:

Beispiel 3: Drei Brüche ordnen

Ordne die Brüche $\frac{3}{4}$, $\frac{5}{6}$ und $\frac{7}{9}$ der Grösse nach.

Lösung mit gemeinsamen Nenner:

Das kgV von 4, 6 und 9 ist 36.

$$\begin{aligned} \frac{3}{4} &= \frac{27}{36} \\ \frac{5}{6} &= \frac{30}{36} \\ \frac{7}{9} &= \frac{28}{36} \end{aligned}$$

Sortiert: $\frac{27}{36} < \frac{28}{36} < \frac{30}{36}$

Antwort: $\frac{3}{4} < \frac{7}{9} < \frac{5}{6}$

Spezialfälle erkennen

Manchmal siehst du sofort, welcher Bruch grösser ist:

• Ein Bruch ist grösser als 1 ($\frac{5}{3}$), der andere kleiner ($\frac{2}{3}$) → Der unechte Bruch ist grösser.
• Beide haben denselben Zähler → Kleinerer Nenner = grösserer Bruch.
• Ein Bruch ist “fast 1” ($\frac{7}{8}$), der andere “etwa halb” ($\frac{3}{5}$) → Schätze zuerst.

Zusammenfassung

Du kannst Brüche vergleichen, indem du sie auf denselben Nenner bringst, das Kreuzprodukt verwendest oder in Dezimalzahlen umwandelst. Bei gleichem Nenner ist der Bruch mit grösserem Zähler grösser. Bei gleichem Zähler ist der Bruch mit kleinerem Nenner grösser. Wähle die Methode, die zur Aufgabe passt.

❓ Frage: Welcher Bruch ist grösser: $\frac{4}{9}$ oder $\frac{5}{11}$?

Lösung anzeigen

Kreuzprodukt: $4 \cdot 11 = 44$ und $9 \cdot 5 = 45$. Da $44 < 45$, ist $\frac{4}{9} < \frac{5}{11}$.

❓ Frage: Ordne: $\frac{2}{5}$, $\frac{3}{5}$, $\frac{1}{5}$

Lösung anzeigen

Alle haben Nenner 5, also vergleiche die Zähler: $\frac{1}{5} < \frac{2}{5} < \frac{3}{5}$

❓ Frage: Welcher Bruch ist grösser: $\frac{5}{8}$ oder $\frac{5}{6}$?

Lösung anzeigen

Gleicher Zähler, also: kleinerer Nenner = grösserer Bruch. $\frac{5}{6} > \frac{5}{8}$