Bruchzahlen - Brüche und Prozente umrechnen

Im Laden siehst du “20% Rabatt”. Im Rezept steht “ein Viertel der Menge nehmen”. In der Zeitung liest du “die Hälfte der Befragten”. All das beschreibt Anteile – nur in unterschiedlichen Schreibweisen. Brüche und Prozente sind eng verwandt, und du kannst sie ineinander umrechnen.

Was bedeutet Prozent?

Das Wort “Prozent” kommt aus dem Lateinischen: “pro centum” bedeutet “von Hundert”. Ein Prozent ist also ein Hundertstel.

DEFINITION

Prozent ist ein Bruch mit dem Nenner 100:

$p\% = \frac{p}{100}$

Das Prozentzeichen % steht für “geteilt durch 100”.

Beispiel: $25\% = \frac{25}{100}$

Warum Prozent?

Prozente machen Vergleiche einfacher. “50 von 200 Schülern” und “30 von 120 Schülern” klingt unterschiedlich. Aber 25% und 25% sind sofort vergleichbar.

Bruch → Prozent

Um einen Bruch in Prozent umzurechnen, brauchst du den Nenner 100.

Methode 1: Auf Nenner 100 erweitern

Wenn der Nenner ein Teiler von 100 ist (2, 4, 5, 10, 20, 25, 50), erweitere einfach auf 100.

Beispiel:

Beispiel 1: Einfache Umwandlung

Wandle $\dfrac{3}{4}$ in Prozent um.

Lösung:

Der Nenner 4 ist ein Teiler von 100. Erweiterungsfaktor: $100 : 4 = 25$

$$\begin{aligned} \frac{3}{4} &= \frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} \\ &= \frac{75}{100} \\ &= 75\% \end{aligned}$$

Methode 2: Mit 100 multiplizieren

Für jeden Bruch gilt: Multipliziere den Bruch mit 100, um den Prozentwert zu erhalten.

DEFINITION

Bruch zu Prozent:

$\frac{a}{b} = \frac{a \cdot 100}{b}\% = \frac{a}{b} \cdot 100\%$

Beispiel:

Beispiel 2: Umwandlung durch Rechnung

Wandle $\frac{5}{8}$ in Prozent um.

Lösung:

$$\begin{aligned} \frac{5}{8} \cdot 100\% &= \frac{5 \cdot 100}{8}\% \\ &= \frac{500}{8}\% \\ &= 62{,}5\% \end{aligned}$$

Achtung: Nicht jeder Bruch ergibt eine “schöne” Prozentzahl. $\frac{1}{3} = 33{,}\overline{3}\%$ (periodisch). Das ist völlig in Ordnung – runde bei Bedarf.

Prozent → Bruch

Der Weg zurück ist oft noch einfacher.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Schreibe die Prozentzahl als Bruch mit Nenner 100.
2. Kürze den Bruch vollständig.

DEFINITION

Prozent zu Bruch:

$p\% = \frac{p}{100}$

Dann kürzen, wenn möglich.

Beispiel:

Beispiel 3: Prozent zu Bruch umwandeln

Wandle 35% in einen gekürzten Bruch um.

Lösung:

$$\begin{aligned} 35\% &= \frac{35}{100} \\ &= \frac{35 : 5}{100 : 5} \\ &= \frac{7}{20} \end{aligned}$$

Wichtige Werte auswendig

Diese Umrechnungen solltest du im Kopf haben:

Bruch	Prozent	Bruch	Prozent
$\frac{1}{2}$	50%	$\frac{1}{5}$	20%
$\frac{1}{4}$	25%	$\frac{2}{5}$	40%
$\frac{3}{4}$	75%	$\frac{3}{5}$	60%
$\frac{1}{3}$	33,3%	$\frac{1}{10}$	10%
$\frac{2}{3}$	66,7%	$\frac{1}{8}$	12,5%

Häufiger Fehler: Prozent und Promille verwechseln! Promille bedeutet “von Tausend”, nicht “von Hundert”.

$1 \text{ Promille} = \frac{1}{1000} = 0{,}1\%$

Anwendung: Prozentrechnung im Alltag

Rabatte berechnen

Wenn etwas 30% günstiger ist, zahlst du noch 70%.

Beispiel: Ein Pullover kostet CHF 80.– mit 25% Rabatt.

Rabatt: $80 \cdot \frac{25}{100} = 80 \cdot 0{,}25 = \text{CHF }20.–$

Endpreis: $80 - 20 = \text{CHF }60.–$

Oder direkt: $80 \cdot 0{,}75 = \text{CHF }60.–$

Anteile berechnen

Beispiel: In einer Klasse mit 24 Schülern haben 6 ein Haustier. Wie viel Prozent ist das?

$\frac{6}{24} = \frac{1}{4} = 25\%$

Dezimalzahlen als Brücke

Dezimalzahlen, Brüche und Prozente hängen zusammen:

$\frac{3}{4} = 0{,}75 = 75\%$

• Bruch → Dezimalzahl: Zähler durch Nenner teilen
• Dezimalzahl → Prozent: Mit 100 multiplizieren
• Prozent → Dezimalzahl: Durch 100 teilen

Zusammenfassung

Prozent ist ein Bruch mit Nenner 100. Um von Bruch zu Prozent zu kommen, erweitere auf 100 oder multipliziere mit 100. Um von Prozent zu Bruch zu kommen, schreibe als Hundertstel und kürze. Die wichtigsten Umrechnungen solltest du auswendig können.

❓ Frage: Wandle $\frac{2}{5}$ in Prozent um.

Lösung anzeigen

$\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 20}{5 \cdot 20} = \frac{40}{100} = 40\%$

❓ Frage: Wandle 85% in einen gekürzten Bruch um.

Lösung anzeigen

$85\% = \frac{85}{100} = \frac{17}{20}$ (gekürzt durch 5)

❓ Frage: Ein T-Shirt kostet CHF 40.– und ist um 15% reduziert. Wie viel zahlst du?

Lösung anzeigen

Rabatt: $40 \cdot 0{,}15 = \text{CHF }6.–$. Endpreis: $40 - 6 = \text{CHF }34.–$ (oder: $40 \cdot 0{,}85 = 34$)