Brüche dividieren: Kehrwert-Methode einfach erklärt | Schritt für Schritt

Stell Dir vor, Du backst Pizza für Deine Freunde. Du hast eine halbe Pizza übrig und möchtest sie gerecht auf Viertel-Portionen aufteilen. Wie viele solcher Viertel-Stücke bekommst Du aus Deiner halben Pizza? Genau diese Frage beantwortet die Division von Brüchen. Im Alltag teilst Du ständig Teile durch Teile: Wenn Du ein Rezept für vier Personen halbieren möchtest, oder wenn Du eine Stoffmenge in kleinere Abschnitte schneidest. Die Bruchdivision hilft Dir, solche Situationen mathematisch präzise zu lösen. Was zunächst kompliziert klingt, entpuppt sich als eleganter Trick. Lass uns entdecken, wie dieser Trick funktioniert.

Eine kleine Zeitreise: Die Geschichte von Bruchzahlen - Brüche dividieren

Die Division von Brüchen beschäftigte Mathematiker bereits vor über 3000 Jahren. Die alten Ägypter kannten Brüche, arbeiteten aber fast ausschliesslich mit Stammbrüchen. Ein Stammbruch hat im Zähler immer die Eins, wie $\frac{1}{2}$ oder $\frac{1}{5}$. Die Ägypter zerlegten komplexere Brüche in Summen von Stammbrüchen. Die Division von Brüchen war für sie ein mühsames Unterfangen. Sie mussten jede Rechnung in viele Einzelschritte zerlegen.

Die Babylonier entwickelten ein ausgeklügeltes Sexagesimalsystem mit der Basis 60. Sie konnten Brüche wie $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$ oder $\frac{1}{4}$ als “Keilschrift-Dezimalzahlen” darstellen. Doch auch sie hatten kein allgemeines Verfahren für die Bruchdivision. Stattdessen nutzten sie umfangreiche Tabellen mit reziproken Werten. Diese Tafeln listeten zu jeder Zahl ihren Kehrwert auf.

Einen entscheidenden Durchbruch brachte der indische Mathematiker Brahmagupta im 7. Jahrhundert. Er formulierte erstmals klare Regeln für die Bruchrechnung, einschliesslich der Division. Brahmagupta erkannte: “Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.” Diese Einsicht revolutionierte die Mathematik. Plötzlich wurde aus einer komplizierten Operation eine einfache Multiplikation.

Der persische Mathematiker Al-Chwarizmi verfeinerte im 9. Jahrhundert diese Methoden. Sein Name gab dem Wort “Algorithmus” seinen Ursprung. Al-Chwarizmi schrieb systematische Anleitungen für die Bruchrechnung. Er zeigte, wie man Brüche erweitert, kürzt und dividiert. Seine Werke wurden später ins Lateinische übersetzt und prägten die europäische Mathematik.

Im mittelalterlichen Europa verbreitete Leonardo Fibonacci die indisch-arabischen Rechenmethoden. Sein Buch “Liber Abaci” aus dem Jahr 1202 enthielt ausführliche Kapitel zur Bruchrechnung. Fibonacci demonstrierte die Kehrwert-Methode an praktischen Beispielen aus Handel und Handwerk. Kaufleute lernten, Warenmengen präzise aufzuteilen.

Die moderne Notation mit Bruchstrich und Kehrwert etablierte sich erst im 16. und 17. Jahrhundert. Mathematiker wie Christoph Clavius standardisierten die Schreibweise. Die Regel “Dividieren durch einen Bruch bedeutet Multiplizieren mit dem Kehrwert” wurde zum universellen Standard.

Heute ist die Bruchdivision fundamentaler Bestandteil der Schulmathematik. Sie bildet die Grundlage für Algebra, Analysis und höhere Mathematik. Computer nutzen diese Operationen in Sekundenbruchteilen. Die Eleganz der Kehrwert-Methode fasziniert noch immer. Was früher mühsame Berechnungen erforderte, löst Du heute in wenigen Schritten.

Die Grundlagen von Bruchzahlen - Brüche dividieren

Die Division von Brüchen beruht auf einem einfachen Prinzip: Du teilst einen Bruch durch einen anderen Bruch. Mathematisch schreiben wir das so: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d}$. Diese Operation beantwortet die Frage: “Wie oft passt der zweite Bruch in den ersten Bruch?”

Der Dividend ist der Bruch, den Du teilst. Im Ausdruck $\frac{3}{4} : \frac{1}{2}$ ist $\frac{3}{4}$ der Dividend. Der Divisor ist der Bruch, durch den Du teilst. Hier ist $\frac{1}{2}$ der Divisor. Das Ergebnis der Division nennen wir Quotient.

Das zentrale Konzept ist der Kehrwert oder Reziprokwert. Der Kehrwert eines Bruchs entsteht, wenn Du Zähler und Nenner vertauschst. Der Kehrwert von $\frac{3}{4}$ ist $\frac{4}{3}$. Der Kehrwert von $\frac{2}{5}$ ist $\frac{5}{2}$. Wichtig: Multiplizierst Du einen Bruch mit seinem Kehrwert, erhältst Du immer 1:

$$\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} = \frac{12}{12} = 1$$

Die Kehrwert-Methode ist die Standardtechnik für Bruchdivision. Sie besagt: “Um durch einen Bruch zu dividieren, multipliziere mit seinem Kehrwert.” Mathematisch:

$$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$$

Warum funktioniert das? Durch einen Bruch zu teilen bedeutet, zu fragen: “Wie viele Teile der Grösse $\frac{c}{d}$ passen in $\frac{a}{b}$?” Das ist gleichbedeutend mit: “Mit welcher Zahl muss ich $\frac{c}{d}$ multiplizieren, um $\frac{a}{b}$ zu erhalten?” Diese Zahl ist genau $\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$.

Ein Beispiel: $\frac{3}{4} : \frac{1}{2}$. Du fragst: “Wie oft passt ein Halb in drei Viertel?” Mit der Kehrwert-Methode rechnest Du:

$$\frac{3}{4} : \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$$

Das Ergebnis $\frac{3}{2}$ oder $1\frac{1}{2}$ bedeutet: Ein Halb passt eineinhalb Mal in drei Viertel.

Du kannst auch ganze Zahlen durch Brüche teilen. Schreibe die ganze Zahl als Bruch mit Nenner 1. Beispiel: $3 : \frac{1}{4} = \frac{3}{1} : \frac{1}{4}$. Nun wendest Du die Kehrwert-Methode an:

$$\frac{3}{1} \cdot \frac{4}{1} = \frac{12}{1} = 12$$

Das macht intuitiv Sinn: In der Zahl 3 passen zwölf Viertel hinein.

Die Kernmethode für Bruchzahlen - Brüche dividieren

Die Kehrwert-Methode ist Dein Werkzeug für jede Bruchdivision. Sie verwandelt eine Division in eine Multiplikation. Folge dieser Schritt-für-Schritt-Anleitung:

Schritt 1: Schreibe die Aufgabe auf Notiere beide Brüche mit dem Divisionszeichen dazwischen. Beispiel: $\frac{5}{6} : \frac{2}{3}$. Falls eine ganze Zahl vorkommt, schreibe sie als Bruch mit Nenner 1. Aus 4 wird $\frac{4}{1}$.

Schritt 2: Bilde den Kehrwert des Divisors Vertausche beim zweiten Bruch Zähler und Nenner. Aus $\frac{2}{3}$ wird $\frac{3}{2}$. Achtung: Nur den Divisor umkehren, nicht den Dividend! Der erste Bruch bleibt unverändert.

Schritt 3: Ersetze das Divisionszeichen durch ein Malzeichen Aus $\frac{5}{6} : \frac{2}{3}$ wird $\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{2}$. Du hast jetzt eine Multiplikationsaufgabe. Das ist der Trick der Methode.

Schritt 4: Multipliziere die Brüche Multipliziere Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner. Bei unserem Beispiel: $\frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 2} = \frac{15}{12}$.

Schritt 5: Kürze das Ergebnis Suche den grössten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner. Bei $\frac{15}{12}$ ist das die 3. Kürze: $\frac{15}{12} = \frac{5}{4}$. Ein ungekürzter Bruch ist mathematisch nicht falsch, aber nicht in der Endform.

Schritt 6: Wandle in gemischte Zahl um (optional) Wenn der Zähler grösser als der Nenner ist, kannst Du eine gemischte Zahl bilden. $\frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$. Das macht Ergebnisse oft anschaulicher.

Tipps für jeden Schritt:

• Prüfe vor Schritt 2, ob Du wirklich den Divisor umkehrst, nicht den Dividend.
• Nach Schritt 3 kannst Du bereits vor der Multiplikation kürzen. Das spart Rechenarbeit.
• Kontrolliere Dein Ergebnis durch Überschlagsrechnung. Ist das Resultat plausibel?

Definition: Das Grundprinzip von Bruchzahlen - Brüche dividieren Die Division zweier Brüche $\frac{a}{b} : \frac{c}{d}$ erfolgt durch Multiplikation mit dem Kehrwert: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$. Dabei ist $\frac{a}{b}$ der Dividend, $\frac{c}{d}$ der Divisor und $\frac{d}{c}$ der Kehrwert des Divisors. Das Ergebnis nennen wir Quotient.

Beispiel 1: Einstiegsaufgabe

Aufgabe: Du hast $\frac{2}{3}$ Liter Saft. Du möchtest den Saft in Gläser zu je $\frac{1}{6}$ Liter abfüllen. Wie viele Gläser kannst Du füllen? Berechne: $\frac{2}{3} : \frac{1}{6}$.

Lösungsweg: Wir wenden die Kehrwert-Methode an.

Schritt 1: Wir schreiben die Aufgabe auf:

$$\frac{2}{3} : \frac{1}{6}$$

Schritt 2: Wir bilden den Kehrwert von $\frac{1}{6}$. Dazu vertauschen wir Zähler und Nenner:

$$\text{Kehrwert von } \frac{1}{6} = \frac{6}{1} = 6$$

Schritt 3: Wir ersetzen die Division durch Multiplikation mit dem Kehrwert:

$$\frac{2}{3} : \frac{1}{6} = \frac{2}{3} \cdot \frac{6}{1}$$

Schritt 4: Wir multiplizieren die Brüche:

$$\begin{align*} \frac{2}{3} \cdot \frac{6}{1} &= \frac{2 \cdot 6}{3 \cdot 1} \\ &= \frac{12}{3} \end{align*}$$

Schritt 5: Wir kürzen den Bruch:

$$\frac{12}{3} = 4$$

Antwort: Du kannst 4 Gläser mit Saft füllen. Das macht Sinn: Ein Sechstel-Liter passt viermal in zwei Drittel Liter.

Beispiel 2: Aufbauende Aufgabe

Aufgabe: Berechne $\frac{3}{4} : \frac{5}{8}$. Kürze das Ergebnis vollständig.

Lösungsweg: Hier sind beide Brüche echte Brüche mit unterschiedlichen Nennern.

Schritt 1: Wir notieren die Aufgabe:

$$\frac{3}{4} : \frac{5}{8}$$

Schritt 2: Der Kehrwert von $\frac{5}{8}$ ist $\frac{8}{5}$:

$$\text{Kehrwert von } \frac{5}{8} = \frac{8}{5}$$

Schritt 3: Wir wandeln die Division in eine Multiplikation um:

$$\frac{3}{4} : \frac{5}{8} = \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{5}$$

Schritt 4: Jetzt multiplizieren wir. Wir können bereits vor der Multiplikation kürzen. Die 4 im Nenner und die 8 im Zähler haben den gemeinsamen Teiler 4:

$$\begin{align*} \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{5} &= \frac{3}{\cancel{4}^1} \cdot \frac{\cancel{8}^2}{5} \\ &= \frac{3 \cdot 2}{1 \cdot 5} \\ &= \frac{6}{5} \end{align*}$$

Schritt 5: Der Bruch $\frac{6}{5}$ ist bereits vollständig gekürzt. Wir können ihn als gemischte Zahl schreiben:

$$\frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}$$

Unterschied zu Beispiel 1: Hier haben wir vor der Multiplikation gekürzt. Das vereinfacht die Rechnung erheblich. Achte immer auf gemeinsame Teiler zwischen Zählern und Nennern.

Beispiel 3: Mittelschwere Aufgabe

Aufgabe: Ein Gärtner hat $2\frac{1}{2}$ Kilogramm Dünger. Er möchte den Dünger in Portionen zu je $\frac{3}{4}$ Kilogramm aufteilen. Wie viele Portionen erhält er? Berechne: $2\frac{1}{2} : \frac{3}{4}$.

Lösungsweg: Zuerst wandeln wir die gemischte Zahl in einen unechten Bruch um.

Schritt 1: Wir schreiben $2\frac{1}{2}$ als unechten Bruch:

$$2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$$

Die Aufgabe lautet nun:

$$\frac{5}{2} : \frac{3}{4}$$

Schritt 2: Der Kehrwert von $\frac{3}{4}$ ist $\frac{4}{3}$.

Schritt 3: Wir ersetzen die Division:

$$\frac{5}{2} : \frac{3}{4} = \frac{5}{2} \cdot \frac{4}{3}$$

Schritt 4: Wir kürzen vor der Multiplikation. Die 2 und die 4 haben den gemeinsamen Teiler 2:

$$\begin{align*} \frac{5}{2} \cdot \frac{4}{3} &= \frac{5}{\cancel{2}^1} \cdot \frac{\cancel{4}^2}{3} \\ &= \frac{5 \cdot 2}{1 \cdot 3} \\ &= \frac{10}{3} \end{align*}$$

Schritt 5: Wir wandeln in eine gemischte Zahl um:

$$\frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$$

Antwort: Der Gärtner erhält $3\frac{1}{3}$ Portionen. Er kann drei vollständige Portionen machen und hat noch ein Drittel einer Portion übrig.

Die häufigsten Stolpersteine bei Bruchzahlen - Brüche dividieren

⚠️ Achtung: Den falschen Bruch umkehren Viele Schüler kehren versehentlich den Dividend statt den Divisor um. Sie rechnen $\frac{3}{4} : \frac{1}{2} = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2}$ statt korrekt $\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{1}$. Dieser Fehler entsteht, weil das Konzept “Kehrwert des Divisors” noch nicht fest verankert ist. Merke Dir: Nur der zweite Bruch wird umgekehrt, nie der erste. Der Dividend bleibt immer unverändert. Ein Trick: Markiere Dir den Divisor farbig, bevor Du den Kehrwert bildest. Kontrolliere Dein Ergebnis durch Überschlagsrechnung. Bei $\frac{3}{4} : \frac{1}{2}$ sollte das Ergebnis grösser als der Dividend sein, denn Du teilst durch etwas Kleineres als 1. Das korrekte Ergebnis $\frac{3}{2} = 1{,}5$ passt. Das falsche Ergebnis $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ wäre kleiner als der Dividend – ein klares Warnsignal.

⚠️ Achtung: Division und Multiplikation verwechseln Einige Schüler dividieren die Brüche “über Kreuz” oder multiplizieren einfach beide Brüche, ohne die Division zu beachten. Sie rechnen $\frac{2}{3} : \frac{4}{5}$ als $\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{8}{15}$. Das ist falsch. Die korrekte Rechnung lautet $\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$. Dieser Fehler passiert, wenn Du die Kehrwert-Methode nicht konsequent anwendest. Schreibe immer alle drei Schritte auf: Division aufschreiben, Kehrwert bilden, Divisionszeichen durch Malzeichen ersetzen. Überspringe keinen Schritt, auch wenn es Dir trivial erscheint. Eine saubere Notation verhindert Flüchtigkeitsfehler. Präge Dir ein: “Division durch Bruch = Multiplikation mit Kehrwert.”

⚠️ Achtung: Gemischte Zahlen nicht umwandeln Ein klassischer Fehler ist, gemischte Zahlen direkt zu dividieren, ohne sie in unechte Brüche umzuwandeln. Bei der Aufgabe $1\frac{1}{2} : \frac{2}{3}$ rechnen manche Schüler $\frac{1}{2} : \frac{2}{3}$ und ignorieren die ganze Zahl. Das führt zu einem völlig falschen Ergebnis. Die korrekte Vorgehensweise: Wandle $1\frac{1}{2}$ zuerst in $\frac{3}{2}$ um. Dann rechnest Du $\frac{3}{2} : \frac{2}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$. Merke: Gemischte Zahlen müssen immer in unechte Brüche umgewandelt werden, bevor Du mit ihnen rechnest. Das gilt für alle Bruchoperationen, nicht nur für die Division. Automatisiere diesen Schritt: Siehst Du eine gemischte Zahl, wandle sie sofort um.

⚠️ Achtung: Zu früh kürzen oder falsch kürzen Manche Schüler kürzen vor der Kehrwert-Bildung oder kürzen die Brüche einzeln statt über Kreuz. Bei $\frac{6}{8} : \frac{3}{4}$ kürzen sie zuerst beide Brüche zu $\frac{3}{4} : \frac{3}{4}$ und erhalten 1. Das ist zufällig korrekt, funktioniert aber nicht immer. Der saubere Weg: Bilde zuerst den Kehrwert, dann kürze. $\frac{6}{8} : \frac{3}{4} = \frac{6}{8} \cdot \frac{4}{3}$. Jetzt kannst Du die 6 und die 3 durch 3 kürzen, sowie die 8 und die 4 durch 4 kürzen: $\frac{2}{2} \cdot \frac{1}{1} = 1$. Kürzen ist nur erlaubt zwischen Zählern und Nennern bei der Multiplikation. Du kannst diagonal kürzen: Zähler des ersten Bruchs mit Nenner des zweiten, oder Nenner des ersten mit Zähler des zweiten. Niemals innerhalb desselben Bruchs bei einer Multiplikation vor dem Vereinfachen kürzen.

Beispiel 4: Komplexere Aufgabe

Aufgabe: Ein Bauer möchte $3\frac{3}{4}$ Hektar Land unter seinen drei Söhnen gerecht aufteilen. Jeder Sohn soll die gleiche Fläche erhalten. Wie viel Hektar bekommt jeder Sohn? Zusätzlich: Wenn jeder Sohn seine Fläche in Parzellen zu je $\frac{5}{8}$ Hektar unterteilen möchte, wie viele Parzellen erhält dann jeder Sohn?

Lösungsweg:

Teil 1: Aufteilung des Landes

Wir müssen $3\frac{3}{4}$ Hektar durch 3 teilen.

Schritt 1: Wir wandeln die gemischte Zahl in einen unechten Bruch um:

$$3\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{15}{4}$$

Die Aufgabe lautet: $\frac{15}{4} : 3$.

Schritt 2: Wir schreiben die ganze Zahl 3 als Bruch:

$$3 = \frac{3}{1}$$

Die Aufgabe wird zu: $\frac{15}{4} : \frac{3}{1}$.

Schritt 3: Wir bilden den Kehrwert von $\frac{3}{1}$:

$$\text{Kehrwert von } \frac{3}{1} = \frac{1}{3}$$

Schritt 4: Wir wandeln die Division in eine Multiplikation um:

$$\frac{15}{4} : \frac{3}{1} = \frac{15}{4} \cdot \frac{1}{3}$$

Schritt 5: Wir kürzen vor der Multiplikation. Die 15 und die 3 haben den gemeinsamen Teiler 3:

$$\begin{align*} \frac{15}{4} \cdot \frac{1}{3} &= \frac{\cancel{15}^5}{4} \cdot \frac{1}{\cancel{3}^1} \\ &= \frac{5 \cdot 1}{4 \cdot 1} \\ &= \frac{5}{4} \end{align*}$$

Schritt 6: Wir wandeln in eine gemischte Zahl um:

$$\frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$$

Jeder Sohn erhält $1\frac{1}{4}$ Hektar Land.

Teil 2: Unterteilung in Parzellen

Nun müssen wir $1\frac{1}{4}$ Hektar durch $\frac{5}{8}$ Hektar teilen.

Schritt 1: Wir wandeln $1\frac{1}{4}$ in einen unechten Bruch um:

$$1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$$

Die Aufgabe lautet: $\frac{5}{4} : \frac{5}{8}$.

Schritt 2: Der Kehrwert von $\frac{5}{8}$ ist $\frac{8}{5}$.

Schritt 3: Wir ersetzen die Division:

$$\frac{5}{4} : \frac{5}{8} = \frac{5}{4} \cdot \frac{8}{5}$$

Schritt 4: Wir können diagonal kürzen. Die 5 im Zähler und die 5 im Nenner kürzen sich zu 1. Die 4 und die 8 haben den gemeinsamen Teiler 4:

$$\begin{align*} \frac{5}{4} \cdot \frac{8}{5} &= \frac{\cancel{5}^1}{\cancel{4}^1} \cdot \frac{\cancel{8}^2}{\cancel{5}^1} \\ &= \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 1} \\ &= 2 \end{align*}$$

Antwort: Jeder Sohn erhält $1\frac{1}{4}$ Hektar Land. Jeder Sohn kann seine Fläche in genau 2 Parzellen zu je $\frac{5}{8}$ Hektar unterteilen.

Diese Aufgabe zeigt, wie wichtig es ist, Schritt für Schritt vorzugehen. Wir haben zwei Divisionen hintereinander durchgeführt. Beide Male war die Kehrwert-Methode unser Werkzeug.

Beispiel 5: Transferaufgabe aus dem Alltag

Aufgabe: Lena backt Kuchen für ein Schulfest. Ein Rezept ergibt $\frac{2}{3}$ eines Backblechs. Sie hat Zutaten für insgesamt $4\frac{1}{2}$ Backbleche. Wie viele Kuchen kann Lena nach diesem Rezept backen?

Lösungsweg:

Diese Alltagssituation übersetzt sich in eine Division: “Wie oft passt $\frac{2}{3}$ eines Backblechs in $4\frac{1}{2}$ Backbleche?” Mathematisch: $4\frac{1}{2} : \frac{2}{3}$.

Schritt 1: Wir wandeln die gemischte Zahl in einen unechten Bruch um:

$$4\frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{9}{2}$$

Die Aufgabe wird zu: $\frac{9}{2} : \frac{2}{3}$.

Schritt 2: Wir bilden den Kehrwert von $\frac{2}{3}$:

$$\text{Kehrwert von } \frac{2}{3} = \frac{3}{2}$$

Schritt 3: Wir wandeln die Division in eine Multiplikation um:

$$\frac{9}{2} : \frac{2}{3} = \frac{9}{2} \cdot \frac{3}{2}$$

Schritt 4: Wir multiplizieren die Brüche:

$$\begin{align*} \frac{9}{2} \cdot \frac{3}{2} &= \frac{9 \cdot 3}{2 \cdot 2} \\ &= \frac{27}{4} \end{align*}$$

Schritt 5: Wir wandeln das Ergebnis in eine gemischte Zahl um:

$$\frac{27}{4} = 6\frac{3}{4}$$

Interpretation: Lena kann 6 vollständige Kuchen backen. Sie hat noch Zutaten für $\frac{3}{4}$ eines weiteren Kuchens übrig. Für das Schulfest wird sie wahrscheinlich 6 Kuchen zubereiten und die restlichen Zutaten anderweitig verwenden.

Alltagsrelevanz: Solche Rechnungen sind beim Kochen und Backen alltäglich. Du skalierst Rezepte hoch oder runter. Du berechnest, wie oft Du ein Rezept mit vorhandenen Zutaten zubereiten kannst. Die Bruchdivision hilft Dir, Ressourcen effizient zu nutzen. Auch beim Nähen, Basteln oder Heimwerken brauchst Du diese Fähigkeit. Wenn Du weisst, wie viel Material Du pro Einheit brauchst, kannst Du berechnen, wie viele Einheiten Du aus Deinem Vorrat herstellen kannst.

Übungs-Sektion im Arbeitsblatt-Stil

Aufgabe 1: Berechne: $\frac{1}{2} : \frac{1}{4}$

Aufgabe 2: Berechne: $\frac{3}{5} : \frac{1}{5}$

Aufgabe 3: Berechne: $\frac{4}{7} : \frac{2}{3}$

Aufgabe 4: Berechne: $\frac{5}{6} : \frac{3}{4}$. Kürze das Ergebnis vollständig und wandle in eine gemischte Zahl um.

Aufgabe 5: Berechne: $2\frac{1}{3} : \frac{2}{5}$

Aufgabe 6: Ein Rezept benötigt $\frac{3}{4}$ Liter Milch. Du hast $4\frac{1}{2}$ Liter Milch. Wie viele Portionen kannst Du nach diesem Rezept zubereiten?

Aufgabe 7: Berechne: $3\frac{2}{5} : 1\frac{7}{10}$

Aufgabe 8: Ein Stoffhändler hat $6\frac{2}{3}$ Meter Stoff. Er möchte daraus Tischdecken nähen. Jede Tischdecke benötigt $1\frac{1}{6}$ Meter Stoff. Wie viele vollständige Tischdecken kann er nähen? Wie viel Stoff bleibt übrig?

Aufgabe 9: Berechne: $\frac{8}{9} : \frac{4}{15} : \frac{2}{5}$. (Tipp: Rechne von links nach rechts.)

Aufgabe 10: Drei Freunde teilen sich eine Pizzalieferung. Anna isst $\frac{1}{3}$ der Gesamtmenge, Ben isst $\frac{1}{4}$ der Gesamtmenge. Den Rest teilen sich Carla und David gleichmässig. Wenn insgesamt $2\frac{2}{3}$ Pizzen geliefert wurden, wie viel Pizza erhält David?

Das Wichtigste in Kürze

Die Division von Brüchen folgt einer einfachen Regel: Du multiplizierst den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs. Diese Kehrwert-Methode verwandelt jede Division in eine Multiplikation. Der Kehrwert entsteht durch Vertauschen von Zähler und Nenner. Nur den Divisor kehrst Du um, niemals den Dividend. Diese Methode funktioniert universell für alle Bruchdivisionen.

Gemischte Zahlen musst Du vor der Division immer in unechte Brüche umwandeln. Eine gemischte Zahl wie $2\frac{1}{3}$ wird zu $\frac{7}{3}$. Erst dann wendest Du die Kehrwert-Methode an. Ganze Zahlen schreibst Du als Brüche mit Nenner 1. Die Zahl 5 wird zu $\frac{5}{1}$. Damit behandelst Du alle Zahlen einheitlich.

Das Ergebnis einer Bruchdivision muss immer vollständig gekürzt werden. Suche den grössten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner. Du kannst bereits vor der Multiplikation kürzen. Das vereinfacht die Rechnung erheblich. Kürze diagonal: Zähler des ersten Bruchs mit Nenner des zweiten, oder umgekehrt. Das spart Dir grosse Zahlen und Rechenaufwand.

Die Division durch einen Bruch, der kleiner als 1 ist, vergrössert den Dividend. Wenn Du $\frac{3}{4} : \frac{1}{2}$ rechnest, ist das Ergebnis grösser als $\frac{3}{4}$. Das macht intuitiv Sinn: Du fragst, wie oft ein halbes Stück in drei Viertel passt. Durch einen Bruch grösser als 1 zu teilen verkleinert den Dividend. Diese Überlegung hilft Dir bei Plausibilitätsprüfungen.

Im Alltag begegnet Dir die Bruchdivision ständig. Beim Skalieren von Rezepten, beim Aufteilen von Ressourcen, beim Berechnen von Portionen. Du teilst Stoffmengen, Zeiteinheiten oder Geldbeträge. Die mathematische Kompetenz übersetzt sich direkt in praktische Problemlösefähigkeit. Brüche zu dividieren ist keine abstrakte Schulübung, sondern eine lebensnahe Fertigkeit.

Die Kehrwert-Methode hat tiefe mathematische Wurzeln. Sie beruht auf der Definition der Division als Umkehrung der Multiplikation. Durch einen Bruch zu teilen bedeutet, mit dem multiplikativen Inversen zu multiplizieren. Diese Einsicht verbindet Arithmetik mit Algebra. Sie zeigt die Eleganz mathematischer Strukturen. Was zunächst wie ein Trick wirkt, ist tatsächlich ein fundamentales Prinzip.

Quiz: Teste dein Wissen

Frage 1: Warum kehren wir bei der Bruchdivision nur den Divisor um und nicht den Dividend?

Der Dividend bleibt unverändert, weil er die Ausgangsmenge darstellt, die aufgeteilt werden soll. Der Divisor gibt an, durch welche Grösse wir teilen. Die Kehrwert-Methode basiert auf der mathematischen Eigenschaft, dass Division durch einen Bruch gleichbedeutend ist mit Multiplikation durch seinen Kehrwert. Wenn wir $\frac{a}{b} : \frac{c}{d}$ berechnen, fragen wir: “Wie oft passt $\frac{c}{d}$ in $\frac{a}{b}$?” Die Antwort ist: ”$\frac{a}{b}$ mal so oft, wie der Kehrwert von $\frac{c}{d}$ angibt.” Mathematisch: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$. Würden wir den Dividend umkehren, würden wir eine völlig andere Frage stellen und ein falsches Ergebnis erhalten.

Frage 2: Berechne im Kopf: $1 : \frac{1}{5}$. Welches Ergebnis erhältst Du?

Das Ergebnis ist 5. Wir schreiben die 1 als $\frac{1}{1}$ und wenden die Kehrwert-Methode an: $\frac{1}{1} : \frac{1}{5} = \frac{1}{1} \cdot \frac{5}{1} = \frac{5}{1} = 5$. Intuitiv macht das Sinn: Wir fragen, wie oft ein Fünftel in eine ganze Zahl passt. Die Antwort ist fünfmal. Diese Aufgabe zeigt ein wichtiges Muster: Durch einen Stammbruch $\frac{1}{n}$ zu dividieren, ist dasselbe wie mit $n$ zu multiplizieren. Das ist besonders nützlich für Kopfrechnungen. Merke Dir: $a : \frac{1}{n} = a \cdot n$.

Frage 3: Du berechnest $\frac{2}{3} : \frac{4}{5}$ und erhältst $\frac{10}{12}$. Was ist Dein nächster Schritt?

Dein nächster Schritt ist das Kürzen des Bruchs. $\frac{10}{12}$ ist nicht vollständig gekürzt. Der grösste gemeinsame Teiler von 10 und 12 ist 2. Du kürzt: $\frac{10}{12} = \frac{10:2}{12:2} = \frac{5}{6}$. Das ist das endgültige Ergebnis. Ein ungekürzter Bruch ist mathematisch nicht falsch, aber nicht in der Standard-Endform. Lehrkräfte erwarten immer vollständig gekürzte Ergebnisse. Gewöhne Dir an, nach jeder Berechnung zu prüfen, ob Zähler und Nenner gemeinsame Teiler haben. Das zeigt mathematische Sorgfalt und Verständnis.

Frage 4: Ein Schüler behauptet: “Division macht Zahlen immer kleiner.” Stimmt das bei Bruchdivision? Begründe mit einem Beispiel.

Diese Aussage stimmt nicht bei der Bruchdivision. Wenn Du durch einen Bruch kleiner als 1 teilst, wird das Ergebnis grösser als der Dividend. Beispiel: $\frac{1}{2} : \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{1} = \frac{4}{2} = 2$. Hier ist das Ergebnis 2 grösser als der Dividend $\frac{1}{2}$. Intuitiv: Wir fragen, wie oft ein Viertel in ein Halb passt. Die Antwort ist zweimal – also ein grösserer Wert. Die Aussage stimmt nur, wenn Du durch eine Zahl grösser als 1 teilst. Bei der Division durch Brüche kleiner als 1 verhält es sich umgekehrt. Das ist ein wichtiger Unterschied zur Division ganzer Zahlen, den viele Schüler übersehen.

Ausblick: Der nächste Schritt auf deiner Mathe-Reise

Nachdem Du die Division von Brüchen gemeistert hast, wartet die Welt der Dezimalzahlen auf Dich. Jeder Bruch lässt sich als Dezimalzahl schreiben. Die Zahl $\frac{1}{4}$ wird zu 0,25. Die Bruchdivision hilft Dir, diese Umwandlung zu verstehen. Du teilst den Zähler durch den Nenner – eine Division! Dezimalzahlen sind in unserem Zahlensystem allgegenwärtig. Preise, Messwerte, Prozentzahlen – alle basieren auf Dezimaldarstellungen. Die Techniken, die Du bei Brüchen gelernt hast, übertragen sich direkt. Du wirst sehen: Brüche und Dezimalzahlen sind zwei Seiten derselben Medaille. Deine solide Grundlage in Bruchrechnung macht den nächsten Schritt zum Kinderspiel. Bald jonglierst Du mühelos zwischen beiden Darstellungsformen.

Lösungen zur Übungs-Sektion

Lösung zu Aufgabe 1:

Wir berechnen $\frac{1}{2} : \frac{1}{4}$.

Schritt 1: Wir bilden den Kehrwert von $\frac{1}{4}$, das ist $\frac{4}{1} = 4$.

Schritt 2: Wir ersetzen die Division durch Multiplikation:

$$\frac{1}{2} : \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \cdot 4$$

Schritt 3: Wir multiplizieren:

$$\frac{1}{2} \cdot 4 = \frac{1 \cdot 4}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Antwort: Das Ergebnis ist 2.

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Lösung zu Aufgabe 2:

Wir berechnen $\frac{3}{5} : \frac{1}{5}$.

Schritt 1: Der Kehrwert von $\frac{1}{5}$ ist $\frac{5}{1} = 5$.

Schritt 2: Wir wandeln die Division um:

$$\frac{3}{5} : \frac{1}{5} = \frac{3}{5} \cdot 5$$

Schritt 3: Wir multiplizieren:

$$\frac{3}{5} \cdot 5 = \frac{3 \cdot 5}{5} = \frac{15}{5} = 3$$

Antwort: Das Ergebnis ist 3.

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Lösung zu Aufgabe 3:

Wir berechnen $\frac{4}{7} : \frac{2}{3}$.

Schritt 1: Der Kehrwert von $\frac{2}{3}$ ist $\frac{3}{2}$.

Schritt 2: Wir ersetzen die Division:

$$\frac{4}{7} : \frac{2}{3} = \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{2}$$

Schritt 3: Wir multiplizieren und kürzen dabei. Die 4 und die 2 haben den gemeinsamen Teiler 2:

$$\begin{align*} \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{2} &= \frac{\cancel{4}^2}{7} \cdot \frac{3}{\cancel{2}^1} \\ &= \frac{2 \cdot 3}{7 \cdot 1} \\ &= \frac{6}{7} \end{align*}$$

Antwort: Das Ergebnis ist $\frac{6}{7}$.

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Lösung zu Aufgabe 4:

Wir berechnen $\frac{5}{6} : \frac{3}{4}$.

Schritt 1: Der Kehrwert von $\frac{3}{4}$ ist $\frac{4}{3}$.

Schritt 2: Wir wandeln die Division um:

$$\frac{5}{6} : \frac{3}{4} = \frac{5}{6} \cdot \frac{4}{3}$$

Schritt 3: Wir kürzen diagonal. Die 6 und die 4 haben den gemeinsamen Teiler 2. Die 3 und die 5 haben keinen gemeinsamen Teiler:

$$\begin{align*} \frac{5}{6} \cdot \frac{4}{3} &= \frac{5}{\cancel{6}^3} \cdot \frac{\cancel{4}^2}{3} \\ &= \frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 3} \\ &= \frac{10}{9} \end{align*}$$

Schritt 4: Wir wandeln in eine gemischte Zahl um:

$$\frac{10}{9} = 1\frac{1}{9}$$

Antwort: Das Ergebnis ist $\frac{10}{9}$ oder $1\frac{1}{9}$.

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Lösung zu Aufgabe 5:

Wir berechnen $2\frac{1}{3} : \frac{2}{5}$.

Schritt 1: Wir wandeln die gemischte Zahl in einen unechten Bruch um:

$$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$$

Schritt 2: Der Kehrwert von $\frac{2}{5}$ ist $\frac{5}{2}$.

Schritt 3: Wir ersetzen die Division:

$$\frac{7}{3} : \frac{2}{5} = \frac{7}{3} \cdot \frac{5}{2}$$

Schritt 4: Wir multiplizieren:

$$\begin{align*} \frac{7}{3} \cdot \frac{5}{2} &= \frac{7 \cdot 5}{3 \cdot 2} \\ &= \frac{35}{6} \end{align*}$$

Schritt 5: Wir wandeln in eine gemischte Zahl um:

$$\frac{35}{6} = 5\frac{5}{6}$$

Antwort: Das Ergebnis ist $\frac{35}{6}$ oder $5\frac{5}{6}$.

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Lösung zu Aufgabe 6:

Wir müssen $4\frac{1}{2} : \frac{3}{4}$ berechnen.

Schritt 1: Wir wandeln die gemischte Zahl um:

$$4\frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{9}{2}$$

Schritt 2: Der Kehrwert von $\frac{3}{4}$ ist $\frac{4}{3}$.

Schritt 3: Wir wandeln die Division um:

$$\frac{9}{2} : \frac{3}{4} = \frac{9}{2} \cdot \frac{4}{3}$$

Schritt 4: Wir kürzen diagonal. Die 9 und die 3 haben den gemeinsamen Teiler 3. Die 2 und die 4 haben den gemeinsamen Teiler 2:

$$\begin{align*} \frac{9}{2} \cdot \frac{4}{3} &= \frac{\cancel{9}^3}{\cancel{2}^1} \cdot \frac{\cancel{4}^2}{\cancel{3}^1} \\ &= \frac{3 \cdot 2}{1 \cdot 1} \\ &= 6 \end{align*}$$

Antwort: Du kannst 6 Portionen zubereiten.

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Lösung zu Aufgabe 7:

Wir berechnen $3\frac{2}{5} : 1\frac{7}{10}$.

Schritt 1: Wir wandeln beide gemischten Zahlen in unechte Brüche um:

$$3\frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{17}{5}$$ $$1\frac{7}{10} = \frac{1 \cdot 10 + 7}{10} = \frac{17}{10}$$

Schritt 2: Der Kehrwert von $\frac{17}{10}$ ist $\frac{10}{17}$.

Schritt 3: Wir wandeln die Division um:

$$\frac{17}{5} : \frac{17}{10} = \frac{17}{5} \cdot \frac{10}{17}$$

Schritt 4: Wir kürzen diagonal. Die 17 im Zähler und die 17 im Nenner kürzen sich zu 1. Die 5 und die 10 haben den gemeinsamen Teiler 5:

$$\begin{align*} \frac{17}{5} \cdot \frac{10}{17} &= \frac{\cancel{17}^1}{\cancel{5}^1} \cdot \frac{\cancel{10}^2}{\cancel{17}^1} \\ &= \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 1} \\ &= 2 \end{align*}$$

Antwort: Das Ergebnis ist 2.

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Lösung zu Aufgabe 8:

Wir berechnen $6\frac{2}{3} : 1\frac{1}{6}$.

Schritt 1: Wir wandeln beide gemischten Zahlen um:

$$6\frac{2}{3} = \frac{6 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{20}{3}$$ $$1\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{7}{6}$$

Schritt 2: Der Kehrwert von $\frac{7}{6}$ ist $\frac{6}{7}$.

Schritt 3: Wir wandeln die Division um:

$$\frac{20}{3} : \frac{7}{6} = \frac{20}{3} \cdot \frac{6}{7}$$

Schritt 4: Wir kürzen diagonal. Die 3 und die 6 haben den gemeinsamen Teiler 3:

$$\begin{align*} \frac{20}{3} \cdot \frac{6}{7} &= \frac{20}{\cancel{3}^1} \cdot \frac{\cancel{6}^2}{7} \\ &= \frac{20 \cdot 2}{1 \cdot 7} \\ &= \frac{40}{7} \end{align*}$$

Schritt 5: Wir wandeln in eine gemischte Zahl um:

$$\frac{40}{7} = 5\frac{5}{7}$$

Antwort: Der Händler kann 5 vollständige Tischdecken nähen. Es bleiben $\frac{5}{7}$ Meter Stoff übrig.

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Lösung zu Aufgabe 9:

Wir berechnen $\frac{8}{9} : \frac{4}{15} : \frac{2}{5}$. Wir rechnen von links nach rechts.

Erster Schritt: $\frac{8}{9} : \frac{4}{15}$

Der Kehrwert von $\frac{4}{15}$ ist $\frac{15}{4}$.

$$\frac{8}{9} : \frac{4}{15} = \frac{8}{9} \cdot \frac{15}{4}$$

Wir kürzen diagonal. Die 8 und die 4 haben den gemeinsamen Teiler 4. Die 9 und die 15 haben den gemeinsamen Teiler 3:

$$\begin{align*} \frac{8}{9} \cdot \frac{15}{4} &= \frac{\cancel{8}^2}{\cancel{9}^3} \cdot \frac{\cancel{15}^5}{\cancel{4}^1} \\ &= \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 1} \\ &= \frac{10}{3} \end{align*}$$

Zweiter Schritt: $\frac{10}{3} : \frac{2}{5}$

Der Kehrwert von $\frac{2}{5}$ ist $\frac{5}{2}$.

$$\frac{10}{3} : \frac{2}{5} = \frac{10}{3} \cdot \frac{5}{2}$$

Wir kürzen diagonal. Die 10 und die 2 haben den gemeinsamen Teiler 2:

$$\begin{align*} \frac{10}{3} \cdot \frac{5}{2} &= \frac{\cancel{10}^5}{3} \cdot \frac{5}{\cancel{2}^1} \\ &= \frac{5 \cdot 5}{3 \cdot 1} \\ &= \frac{25}{3} \end{align*}$$

Wir wandeln in eine gemischte Zahl um:

$$\frac{25}{3} = 8\frac{1}{3}$$

Antwort: Das Ergebnis ist $\frac{25}{3}$ oder $8\frac{1}{3}$.

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Lösung zu Aufgabe 10:

Diese Aufgabe erfordert mehrere Schritte.

Schritt 1: Wir berechnen, wie viel Anna und Ben zusammen essen:

$$\frac{1}{3} + \frac{1}{4}$$

Wir bringen beide Brüche auf den gemeinsamen Nenner 12:

$$\begin{align*} \frac{1}{3} + \frac{1}{4} &= \frac{4}{12} + \frac{3}{12} \\ &= \frac{7}{12} \end{align*}$$

Schritt 2: Wir berechnen den Rest:

$$1 - \frac{7}{12} = \frac{12}{12} - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$$

Carla und David teilen sich $\frac{5}{12}$ der Gesamtmenge.

Schritt 3: David erhält die Hälfte davon:

$$\frac{5}{12} : 2 = \frac{5}{12} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{24}$$

Schritt 4: Die Gesamtmenge war $2\frac{2}{3}$ Pizzen. Wir wandeln um:

$$2\frac{2}{3} = \frac{8}{3}$$

Schritt 5: David erhält $\frac{5}{24}$ von $\frac{8}{3}$ Pizzen:

$$\frac{5}{24} \cdot \frac{8}{3}$$

Wir kürzen. Die 24 und die 8 haben den gemeinsamen Teiler 8. Die 3 bleibt im Nenner:

$$\begin{align*} \frac{5}{24} \cdot \frac{8}{3} &= \frac{5}{\cancel{24}^3} \cdot \frac{\cancel{8}^1}{3} \\ &= \frac{5 \cdot 1}{3 \cdot 3} \\ &= \frac{5}{9} \end{align*}$$

Antwort: David erhält $\frac{5}{9}$ Pizza.