Brüche addieren und subtrahieren – Einfach erklärt mit Beispielen

Stell dir vor, du backst Pizza mit Freunden.
Eine Person isst $\dfrac{1}{4}$ der Pizza, eine andere $\dfrac{1}{8}$.
Wie viel Pizza ist insgesamt weg?
Du kannst die Stücke nicht einfach zusammenzählen, weil sie unterschiedlich gross sind. Du musst sie erst vergleichbar machen. Genau so funktioniert das Rechnen mit Brüchen. Im Alltag begegnest du ständig Brüchen: beim Teilen von Kosten, beim Abmessen von Zutaten oder beim Berechnen von Rabatten. Ohne Bruchrechnung wären viele praktische Probleme schwer zu lösen.

Lass uns jetzt schauen, wie die Mathematik dir dabei hilft, solche Situationen spielend zu meistern.

Die Geschichte von Bruchzahlen - Brüche addieren und subtrahieren

Die Geschichte der Bruchrechnung beginnt vor mehr als 4000 Jahren. Die alten Ägypter waren die ersten, die systematisch mit Brüchen arbeiteten. Sie nutzten Brüche, um Land zu vermessen und Getreide gerecht zu verteilen.

Besonders interessant: Die Ägypter verwendeten fast ausschliesslich Stammbrüche – Brüche mit der Zähler 1.

Eine Ausnahme bildete der Bruch $\dfrac{2}{3}$, der ein eigenes Symbol erhielt. Wollten die Ägypter andere Brüche darstellen, zerlegten sie diese in Summen von Stammbrüchen.
Der Bruch $\dfrac{3}{4}$ wurde beispielsweise als $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}$ geschrieben.

Die Babylonier entwickelten etwa zur gleichen Zeit ein anderes System. Sie verwendeten ein Stellenwertsystem mit der Basis 60. Dieses System ermöglichte es ihnen, komplexe Berechnungen durchzuführen. Noch heute nutzen wir ihr Erbe: Die Einteilung der Stunde in 60 Minuten geht auf die Babylonier zurück.

Ein entscheidender Durchbruch gelang den indischen Mathematikern im 5. Jahrhundert. Brahmagupta entwickelte Regeln für das Rechnen mit Brüchen, die unseren heutigen Methoden sehr ähnlich sind. Er erkannte, dass man Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen muss, bevor man sie addiert oder subtrahiert. Diese Erkenntnis war revolutionär.

Im Mittelalter brachten arabische Gelehrte die indischen Erkenntnisse nach Europa. Der persische Mathematiker Al-Chwarizmi verfasste im 9. Jahrhundert Werke, die das Rechnen mit Brüchen systematisch beschrieben. Seine Bücher wurden später ins Lateinische übersetzt und prägten die europäische Mathematik für Jahrhunderte.

Der italienische Mathematiker Leonardo Fibonacci machte im 13. Jahrhundert die arabischen Ziffern und die moderne Bruchschreibweise in Europa bekannt. In seinem Buch “Liber Abaci” erklärte er, wie Kaufleute mit Brüchen rechnen können. Dies war besonders wichtig für Handel und Wirtschaft. Fibonacci zeigte praktische Anwendungen: Währungsumrechnung, Gewichtsberechnungen und Gewinnverteilung.

Im 16. Jahrhundert führte der deutsche Mathematiker Adam Ries die Bruchrechnung in den Schulunterricht ein. Seine Rechenbücher waren so verständlich geschrieben, dass auch normale Bürger sie nutzen konnten. Der Ausspruch “Nach Adam Riese” erinnert noch heute an seine Bedeutung.

Die moderne Bruchrechnung, wie du sie heute lernst, entstand im 17. und 18. Jahrhundert. Mathematiker wie Leonhard Euler vereinheitlichten die Schreibweise und formulierten die Rechenregeln präzise. Sie erkannten, dass Brüche eine zentrale Rolle in der gesamten Mathematik spielen.

Heute sind Brüche unverzichtbar. Sie bilden die Grundlage für Algebra, Analysis und viele Anwendungen in Naturwissenschaft und Technik. Ohne das Verständnis von Bruchrechnung wären moderne Computer, Smartphones und GPS-Systeme undenkbar.

Die Grundlagen von Bruchzahlen - Brüche addieren und subtrahieren

Ein Bruch besteht aus zwei Teilen: dem Zähler und dem Nenner. Der Zähler steht über dem Bruchstrich, der Nenner darunter. Der Bruch $\frac{3}{4}$ bedeutet: Du teilst ein Ganzes in 4 gleiche Teile und nimmst 3 davon. Der Nenner gibt an, in wie viele Teile das Ganze geteilt wird. Der Zähler sagt, wie viele dieser Teile du betrachtest.

Definition: Gleichnamige Brüche

Brüche heissen gleichnamig, wenn sie denselben Nenner haben. Beispiel: $\frac{3}{8}$ und $\frac{5}{8}$ sind gleichnamig. Brüche mit verschiedenen Nennern heissen ungleichnamig.

Gleichnamige Brüche zu addieren ist einfach. Du addierst nur die Zähler und behältst den Nenner bei. Bei $\frac{2}{7} + \frac{3}{7}$ rechnest du:

$$\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2+3}{7} = \frac{5}{7}$$

Die Subtraktion funktioniert analog. Du ziehst die Zähler voneinander ab:

$$\frac{5}{9} - \frac{2}{9} = \frac{5-2}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$$

Bei ungleichnamigen Brüchen brauchst du einen gemeinsamen Nenner. Dieser Nenner muss ein Vielfaches beider ursprünglichen Nenner sein. Am besten verwendest du das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV). Das kgV von 4 und 6 ist 12, weil 12 die kleinste Zahl ist, die durch 4 und durch 6 teilbar ist.

Um einen Bruch auf einen neuen Nenner zu erweitern, multiplizierst du Zähler und Nenner mit derselben Zahl. Der Wert des Bruchs bleibt dabei gleich. Aus $\frac{2}{4}$ wird durch Erweitern mit 3:

$$\frac{2}{4} = \frac{2 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{6}{12}$$

Definition: Hauptnenner

Der Hauptnenner ist der gemeinsame Nenner, auf den du alle Brüche einer Aufgabe bringst. Idealerweise wählst du das kleinste gemeinsame Vielfache der vorhandenen Nenner.

Nach dem Erweitern kannst du wie bei gleichnamigen Brüchen rechnen. Die Kunst liegt darin, den Hauptnenner geschickt zu wählen. Ein zu grosser Hauptnenner macht die Rechnung unnötig kompliziert. Mit etwas Übung erkennst du das kgV schnell. Bei kleinen Zahlen hilft oft das kleine Einmaleins.

Die Kernmethode für Bruchzahlen - Brüche addieren und subtrahieren

Das Addieren und Subtrahieren von Brüchen folgt einem klaren Schema. Du musst die Brüche erst vergleichbar machen, dann kannst du sie zusammenrechnen. Der Prozess läuft immer gleich ab, egal wie kompliziert die Aufgabe aussieht.

Schritt 1: Prüfe die Nenner Schaue dir zunächst alle Nenner an. Sind sie gleich? Dann kannst du sofort addieren oder subtrahieren. Bei unterschiedlichen Nennern brauchst du einen gemeinsamen Nenner. Dies ist der wichtigste Vorbereitungsschritt.

Schritt 2: Finde den Hauptnenner Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) aller Nenner. Liste dazu die Vielfachen jedes Nenners auf, bis du eine gemeinsame Zahl findest. Bei den Nennern 4 und 6 sind die Vielfachen von 4: 4, 8, 12, 16. Die Vielfachen von 6: 6, 12, 18. Das kgV ist 12. Tipp: Bei Primzahlen musst du oft multiplizieren. Das kgV von 3 und 5 ist 15.

Schritt 3: Erweitere alle Brüche Bringe jeden Bruch auf den Hauptnenner. Teile den Hauptnenner durch den alten Nenner. Das Ergebnis ist dein Erweiterungsfaktor. Multipliziere Zähler und Nenner mit diesem Faktor. Kontrolliere: Der neue Nenner muss bei allen Brüchen gleich sein. Tipp: Schreibe die Erweiterung deutlich hin. So vermeidest du Fehler.

Schritt 4: Addiere oder subtrahiere die Zähler Jetzt sind alle Brüche gleichnamig. Addiere oder subtrahiere nur die Zähler. Der Nenner bleibt unverändert. Dies ist der einfachste Schritt. Achte auf das Vorzeichen bei der Subtraktion.

Schritt 5: Kürze das Ergebnis Prüfe, ob Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler haben. Teile beide durch die grösstmögliche Zahl. Das Ergebnis ist dann vollständig gekürzt. Tipp: Wenn der Zähler grösser als der Nenner ist, kannst du einen gemischten Bruch bilden.

Schritt 6: Kontrolliere dein Ergebnis Überlege, ob das Ergebnis sinnvoll ist. Bei einer Addition muss das Ergebnis grösser sein als die einzelnen Brüche. Bei einer Subtraktion wird das Ergebnis kleiner. Diese Plausibilitätsprüfung hilft dir, grobe Fehler zu erkennen.

Definition: Das Grundprinzip von Bruchzahlen - Brüche addieren und subtrahieren

Um Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, musst du sie auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Die allgemeine Formel lautet: $\frac{a}{n} \pm \frac{b}{n} = \frac{a \pm b}{n}$. Dabei ist $n$ der gemeinsame Nenner, $a$ und $b$ sind die Zähler. Das Plusminuszeichen $\pm$ bedeutet, dass die Regel für Addition und Subtraktion gilt.

Beispiel 1: Einstiegsaufgabe

Aufgabe: Lisa isst $\frac{1}{4}$ einer Tafel Schokolade. Tom isst $\frac{1}{4}$ derselben Tafel. Wie viel Schokolade haben beide zusammen gegessen?

Lösungsweg: Die beiden Brüche haben denselben Nenner. Sie sind gleichnamig. Du musst sie nicht erweitern. Addiere einfach die Zähler:

$$\begin{align*} \frac{1}{4} + \frac{1}{4} &= \frac{1+1}{4} \\ &= \frac{2}{4} \end{align*}$$

Das Ergebnis kannst du noch kürzen. Zähler und Nenner sind beide durch 2 teilbar:

$$\frac{2}{4} = \frac{2:2}{4:2} = \frac{1}{2}$$

Lisa und Tom haben zusammen die Hälfte der Schokolade gegessen. Das macht Sinn: Zwei Viertel ergeben ein Halbes. Die Antwort ist $\frac{1}{2}$.

Beispiel 2: Aufbauende Aufgabe

Aufgabe: Anna läuft $\frac{3}{8}$ einer Rennstrecke. Danach läuft sie noch $\frac{1}{4}$ der Strecke. Welchen Teil der gesamten Strecke hat Anna zurückgelegt?

Lösungsweg: Die Nenner sind unterschiedlich: 8 und 4. Du musst einen gemeinsamen Nenner finden. Die Vielfachen von 8 sind: 8, 16, 24. Die Vielfachen von 4 sind: 4, 8, 12. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist 8.

Der Bruch $\frac{3}{8}$ hat bereits den Nenner 8. Du musst ihn nicht verändern. Den Bruch $\frac{1}{4}$ erweiterst du auf den Nenner 8. Teile 8 durch 4, das ergibt 2. Erweitere mit 2:

$$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{2}{8}$$

Jetzt addierst du die gleichnamigen Brüche:

$$\begin{align*} \frac{3}{8} + \frac{2}{8} &= \frac{3+2}{8} \\ &= \frac{5}{8} \end{align*}$$

Anna hat $\frac{5}{8}$ der Strecke zurückgelegt. Dieser Bruch ist bereits vollständig gekürzt. Der Unterschied zu Beispiel 1: Hier mussten wir erst einen Bruch erweitern. Das macht die Aufgabe etwas anspruchsvoller.

Beispiel 3: Mittelschwere Aufgabe

Aufgabe: Ein Maler streicht am Montag $\frac{2}{5}$ einer Wand. Am Dienstag streicht er $\frac{1}{3}$ der Wand. Wie viel der Wand ist nach zwei Tagen gestrichen?

Lösungsweg: Die Nenner sind 5 und 3. Finde das kleinste gemeinsame Vielfache. Die Vielfachen von 5: 5, 10, 15, 20. Die Vielfachen von 3: 3, 6, 9, 12, 15. Das kgV ist 15.

Erweitere beide Brüche auf den Nenner 15. Für $\frac{2}{5}$ rechnest du: $15 : 5 = 3$. Erweitere mit 3:

$$\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{6}{15}$$

Für $\frac{1}{3}$ rechnest du: $15 : 3 = 5$. Erweitere mit 5:

$$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{5}{15}$$

Addiere die erweiterten Brüche:

$$\begin{align*} \frac{6}{15} + \frac{5}{15} &= \frac{6+5}{15} \\ &= \frac{11}{15} \end{align*}$$

Der Maler hat nach zwei Tagen $\frac{11}{15}$ der Wand gestrichen. Der Bruch ist vollständig gekürzt, weil 11 eine Primzahl ist. Sie teilt 15 nicht. Diese Aufgabe war anspruchsvoller, weil beide Brüche erweitert werden mussten.

Die häufigsten Stolpersteine bei Bruchzahlen - Brüche addieren und subtrahieren

⚠️ Achtung: Nenner werden addiert

Der häufigste Fehler: Schüler addieren nicht nur die Zähler, sondern auch die Nenner. Aus $\frac{1}{3} + \frac{1}{4}$ wird fälschlicherweise $\frac{2}{7}$. Das ist grundlegend falsch. Der Nenner gibt die Grösse der Teile an. Wenn du verschiedene Teilgrössen addierst, ändern sich die Teile nicht. Stell dir vor: Du hast ein Drittel einer Pizza und ein Viertel einer anderen Pizza. Die Pizzen verschwinden nicht magisch. Die richtige Rechnung lautet: Finde den Hauptnenner 12, erweitere auf $\frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$. Merke dir: Der Nenner bleibt bei der Addition gleich. Nur die Zähler werden addiert. Wenn du unsicher bist, male dir die Brüche als Kreisdiagramme. Dann siehst du sofort, dass $\frac{7}{12}$ mehr ist als $\frac{2}{7}$.

⚠️ Achtung: Vergessenes Erweitern

Viele Schüler erkennen zwar, dass die Nenner unterschiedlich sind. Sie suchen einen gemeinsamen Nenner. Aber dann vergessen sie, auch die Zähler anzupassen. Bei $\frac{2}{3} + \frac{1}{6}$ sehen sie: Der Hauptnenner ist 6. Sie schreiben $\frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6}$. Das ist falsch. Du musst den ersten Bruch erweitern. Aus $\frac{2}{3}$ wird $\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6}$. Die richtige Rechnung: $\frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$. Der Unterschied ist riesig. Tipp: Schreibe die Erweiterung immer explizit hin. Schreibe $\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}$. So vergisst du den Zähler nicht. Kontrolliere: Prüfe durch Kürzen, ob dein erweiterter Bruch zum Original zurückführt. Wenn $\frac{4}{6}$ gekürzt nicht $\frac{2}{3}$ ergibt, hast du falsch erweitert.

⚠️ Achtung: Falsches Vorzeichen bei Subtraktion

Bei der Subtraktion passieren leicht Vorzeichenfehler. Aus $\frac{5}{8} - \frac{3}{8}$ wird versehentlich $\frac{8}{8}$ statt $\frac{2}{8}$. Der Schüler addiert die Zähler, obwohl ein Minus dasteht. Noch tückischer wird es bei gemischten Aufgaben: $\frac{2}{5} + \frac{1}{10} - \frac{3}{10}$. Hier musst du genau aufpassen, welche Brüche du abziehst. Die richtige Reihenfolge: Erst alles auf Hauptnenner bringen. $\frac{4}{10} + \frac{1}{10} - \frac{3}{10}$. Dann von links nach rechts rechnen: $\frac{4+1-3}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$. Tipp: Markiere Minuszeichen farbig. Setze Klammern um negative Terme. Rechne bei komplexen Aufgaben Schritt für Schritt. Erst alle Additionen, dann die Subtraktionen. Kontrolliere am Ende: Ist dein Ergebnis kleiner als der grösste Bruch in der Aufgabe? Bei Subtraktionen muss es kleiner werden.

⚠️ Achtung: Kürzen vor dem Gleichnamigmachen

Manche Schüler kürzen Brüche, bevor sie den Hauptnenner suchen. Sie denken, das macht die Rechnung einfacher. Bei $\frac{6}{8} + \frac{2}{4}$ kürzen sie den ersten Bruch zu $\frac{3}{4}$. Jetzt haben beide den Nenner 4, also: $\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{5}{4}$. Das ist richtig. Aber der Weg ist gefährlich. Manchmal machst du die Rechnung schwerer. Bei $\frac{4}{6} + \frac{2}{9}$ ist der Hauptnenner 18. Wenn du erst $\frac{4}{6}$ zu $\frac{2}{3}$ kürzt, bleibt der Hauptnenner 9. Das ist zwar besser, aber du musst zweimal nachdenken. Besser: Lass die Brüche wie sie sind. Finde den Hauptnenner der Originalbrüche. Kürze erst das Endergebnis. So machst du weniger Fehler. Ausnahme: Wenn ein Bruch sofort als $\frac{1}{2}$ erkennbar ist, darfst du vorher kürzen. Aber bei komplizierten Aufgaben: Erst Hauptnenner, dann erweitern, dann rechnen, dann kürzen. Diese Reihenfolge ist am sichersten.

Beispiel 4: Komplexere Aufgabe

Aufgabe: Ein Bauer besitzt ein Feld. Er pflanzt auf $\frac{3}{10}$ des Feldes Kartoffeln. Auf $\frac{1}{4}$ baut er Mais an. Auf $\frac{1}{5}$ wachsen Rüben. Der Rest bleibt als Wiese. Wie gross ist der Anteil der Wiese am gesamten Feld?

Lösungsweg: Diese Aufgabe hat eine Zusatzschwierigkeit. Du musst erst drei Brüche addieren. Dann ziehst du die Summe von 1 ab. Das Ganze entspricht dem gesamten Feld.

Schritt 1: Finde den Hauptnenner für 10, 4 und 5. Die Vielfachen von 10: 10, 20, 30, 40. Die Vielfachen von 4: 4, 8, 12, 16, 20. Die Vielfachen von 5: 5, 10, 15, 20. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist 20.

Schritt 2: Erweitere alle Brüche auf den Nenner 20. Für $\frac{3}{10}$ rechnest du: $20 : 10 = 2$. Erweitere mit 2:

$$\frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 2}{10 \cdot 2} = \frac{6}{20}$$

Für $\frac{1}{4}$ rechnest du: $20 : 4 = 5$. Erweitere mit 5:

$$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{5}{20}$$

Für $\frac{1}{5}$ rechnest du: $20 : 5 = 4$. Erweitere mit 4:

$$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{4}{20}$$

Schritt 3: Addiere die drei erweiterten Brüche:

$$\begin{align*} \frac{6}{20} + \frac{5}{20} + \frac{4}{20} &= \frac{6+5+4}{20} \\ &= \frac{15}{20} \end{align*}$$

Der Bauer nutzt $\frac{15}{20}$ des Feldes für den Anbau. Schritt 4: Berechne den Rest. Das ganze Feld ist 1, also $\frac{20}{20}$. Ziehe die genutzte Fläche ab:

$$\begin{align*} 1 - \frac{15}{20} &= \frac{20}{20} - \frac{15}{20} \\ &= \frac{20-15}{20} \\ &= \frac{5}{20} \end{align*}$$

Schritt 5: Kürze das Ergebnis. Zähler und Nenner sind durch 5 teilbar:

$$\frac{5}{20} = \frac{5:5}{20:5} = \frac{1}{4}$$

Die Wiese macht $\frac{1}{4}$ des Feldes aus. Kontrolle: $\frac{15}{20} + \frac{5}{20} = \frac{20}{20} = 1$. Alle Anteile zusammen ergeben das ganze Feld. Die Rechnung stimmt.

Beispiel 5: Transferaufgabe aus dem Alltag

Aufgabe: Du backst einen Kuchen für eine Party. Das Rezept verlangt $\frac{3}{4}$ Liter Milch. Du hast nur zwei angebrochene Milchpackungen. In der ersten Packung sind noch $\frac{1}{2}$ Liter. In der zweiten sind noch $\frac{1}{3}$ Liter. Reicht die Milch für das Rezept? Wenn ja, wie viel bleibt übrig? Wenn nein, wie viel fehlt?

Lösungsweg: Diese Alltagssituation übersetzt du in eine mathematische Aufgabe. Du musst die beiden Milchmengen addieren. Dann vergleichst du das Ergebnis mit der benötigten Menge.

Schritt 1: Addiere die vorhandenen Milchmengen. Die Nenner sind 2 und 3. Finde das kleinste gemeinsame Vielfache. Die Vielfachen von 2: 2, 4, 6, 8. Die Vielfachen von 3: 3, 6, 9. Das kgV ist 6.

Schritt 2: Erweitere beide Brüche auf den Nenner 6. Für $\frac{1}{2}$ rechnest du: $6 : 2 = 3$. Erweitere mit 3:

$$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6}$$

Für $\frac{1}{3}$ rechnest du: $6 : 3 = 2$. Erweitere mit 2:

$$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{2}{6}$$

Schritt 3: Addiere die Milchmengen:

$$\begin{align*} \frac{3}{6} + \frac{2}{6} &= \frac{3+2}{6} \\ &= \frac{5}{6} \end{align*}$$

Du hast $\frac{5}{6}$ Liter Milch. Schritt 4: Vergleiche mit der benötigten Menge $\frac{3}{4}$. Bringe beide Brüche auf denselben Nenner. Das kgV von 6 und 4 ist 12. Erweitere $\frac{5}{6}$:

$$\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{10}{12}$$

Erweitere $\frac{3}{4}$:

$$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$$

Schritt 5: Subtrahiere die benötigte von der vorhandenen Menge:

$$\begin{align*} \frac{10}{12} - \frac{9}{12} &= \frac{10-9}{12} \\ &= \frac{1}{12} \end{align*}$$

Die Milch reicht. Es bleiben sogar $\frac{1}{12}$ Liter übrig. Das sind ungefähr 83 Milliliter. Praktische Interpretation: Du kannst den Kuchen backen. Die kleine Restmenge kannst du in den Kaffee geben. Diese Aufgabe zeigt: Bruchrechnung hilft dir im Alltag, konkrete Entscheidungen zu treffen.

Übungs-Sektion im Arbeitsblatt-Stil

Aufgabe 1: Berechne: $\frac{2}{9} + \frac{4}{9}$

Aufgabe 2: Berechne: $\frac{7}{10} - \frac{3}{10}$

Aufgabe 3: Addiere: $\frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6}$

Aufgabe 4: Berechne: $\frac{2}{3} + \frac{1}{6}$

Aufgabe 5: Subtrahiere: $\frac{5}{8} - \frac{1}{4}$

Aufgabe 6: Ein Schüler löst am Montag $\frac{1}{3}$ seiner Hausaufgaben. Am Dienstag erledigt er weitere $\frac{1}{4}$ der Hausaufgaben. Welcher Anteil der Hausaufgaben ist noch nicht erledigt?

Aufgabe 7: Berechne: $\frac{3}{4} + \frac{2}{5} - \frac{1}{10}$

Aufgabe 8: Eine Wandergruppe legt am Vormittag $\frac{2}{7}$ der Strecke zurück. Am Nachmittag schaffen sie $\frac{3}{14}$ der Strecke. Abends gehen sie noch $\frac{1}{2}$ der Strecke. Haben sie das Ziel erreicht? Begründe deine Antwort.

Aufgabe 9: Berechne: $\frac{5}{6} - \frac{2}{9} + \frac{1}{3}$

Aufgabe 10: Ein Rezept für 4 Personen benötigt $\frac{3}{8}$ Liter Sahne und $\frac{1}{4}$ Liter Milch. Ein anderes Rezept für 4 Personen braucht $\frac{1}{2}$ Liter Sahne und $\frac{1}{6}$ Liter Milch. Du möchtest beide Rezepte gleichzeitig zubereiten. Wie viel Flüssigkeit (Sahne und Milch zusammen) benötigst du insgesamt?

Das Wichtigste in Kürze

Das Addieren und Subtrahieren von Brüchen basiert auf einem fundamentalen Prinzip: Du kannst nur gleichnamige Brüche direkt verrechnen. Gleichnamige Brüche haben denselben Nenner. Bei ihnen addierst oder subtrahierst du einfach die Zähler und behältst den Nenner bei. Die Formel lautet: $\frac{a}{n} \pm \frac{b}{n} = \frac{a \pm b}{n}$. Diese Regel ist die Grundlage aller Bruchrechnungen. Wenn du sie verstanden hast, kannst du jede Aufgabe lösen.

Ungleichnamige Brüche musst du zuerst auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Dieser gemeinsame Nenner heisst Hauptnenner. Am besten wählst du das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der vorhandenen Nenner. Das kgV findest du, indem du die Vielfachen jedes Nenners auflistest und die kleinste gemeinsame Zahl auswählst. Ein geschickt gewählter Hauptnenner macht die Rechnung einfacher und übersichtlicher.

Das Erweitern ist der Schlüssel zum Gleichnamigmachen. Du multiplizierst Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben Zahl. Der Wert des Bruchs ändert sich dabei nicht. Um den Erweiterungsfaktor zu finden, teilst du den Hauptnenner durch den alten Nenner. Kontrolliere immer, ob alle erweiterten Brüche denselben Nenner haben. Schreibe die Erweiterung deutlich hin, um Fehler zu vermeiden.

Nach dem Rechnen musst du das Ergebnis kürzen. Ein gekürzter Bruch ist die einfachste Form der Zahl. Du teilst Zähler und Nenner durch ihren grössten gemeinsamen Teiler. Wenn der Zähler grösser als der Nenner ist, liegt ein unechter Bruch vor. Du kannst ihn in einen gemischten Bruch umwandeln. Kürzen macht dein Ergebnis übersichtlicher und zeigt, dass du sauber arbeitest.

Die häufigsten Fehler entstehen durch Unachtsamkeit. Addiere niemals die Nenner. Der Nenner bleibt bei der Addition und Subtraktion gleich. Vergiss nicht, beim Erweitern auch den Zähler anzupassen. Achte genau auf Vorzeichen bei Subtraktionen. Kontrolliere dein Ergebnis durch Plausibilitätsprüfung. Bei Additionen wird das Ergebnis grösser, bei Subtraktionen kleiner.

Bruchrechnung begegnet dir überall im Alltag. Beim Kochen, beim Einkaufen, beim Sport – überall teilst du Mengen auf oder kombinierst Teile. Wer Brüche beherrscht, kann praktische Probleme lösen. Du erkennst, ob deine Zutaten reichen, wie viel Strecke noch fehlt oder wie du Kosten aufteilst. Diese Fähigkeit ist unbezahlbar und macht dich im Alltag sicherer.

Quiz: Teste dein Wissen

Frage 1: Warum darfst du bei der Addition von Brüchen die Nenner nicht addieren?

Der Nenner gibt die Grösse der Teile an, in die das Ganze geteilt wurde. Wenn du zwei Brüche mit verschiedenen Nennern hast, beschreiben sie unterschiedlich grosse Teile. Ein Achtel ist kleiner als ein Viertel. Wenn du die Nenner addierst, änderst du die Bedeutung der Brüche komplett. Du würdest sozusagen die Pizzastücke neu definieren, während du versuchst zu zählen, wie viele du hast. Das macht keinen Sinn. Stattdessen musst du beide Brüche auf gleich grosse Teile bringen – einen gemeinsamen Nenner finden. Nur dann kannst du zählen, wie viele Teile du insgesamt hast. Die mathematische Regel ist eindeutig: Bei Addition und Subtraktion bleibt der Nenner gleich, nur die Zähler werden verrechnet.

Frage 2: Du sollst $\frac{1}{4} + \frac{1}{6}$ berechnen. Welcher Hauptnenner ist am geschicktesten und warum?

Der geschickteste Hauptnenner ist 12, weil 12 das kleinste gemeinsame Vielfache von 4 und 6 ist. Du findest es, indem du die Vielfachen auflistest: 4, 8, 12, 16 und 6, 12, 18. Die kleinste gemeinsame Zahl ist 12. Theoretisch könntest du auch 24, 36 oder jedes andere gemeinsame Vielfache nehmen. Aber das macht die Rechnung unnötig kompliziert. Mit 24 als Hauptnenner würdest du $\frac{6}{24} + \frac{4}{24} = \frac{10}{24}$ erhalten. Dann müsstest du noch auf $\frac{5}{12}$ kürzen. Mit dem Hauptnenner 12 kommst du direkt auf $\frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}$. Das ist weniger Arbeit und du machst weniger Fehler. Merke dir: Das kleinste gemeinsame Vielfache ist fast immer die beste Wahl.

Frage 3: Berechne im Kopf: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}$. Welche Strategie hilft dir?

Die geschickte Strategie ist, von links nach rechts zu rechnen und immer nur zwei Brüche zu kombinieren. Start: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$. Der Hauptnenner ist 4. Aus $\frac{1}{2}$ wird $\frac{2}{4}$. Also: $\frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$. Jetzt addierst du $\frac{3}{4} + \frac{1}{8}$. Der Hauptnenner ist 8. Aus $\frac{3}{4}$ wird $\frac{6}{8}$. Also: $\frac{6}{8} + \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$. Das Ergebnis ist $\frac{7}{8}$. Diese Methode funktioniert besonders gut, wenn die Nenner Zweierpotenzen sind (2, 4, 8, 16). Ein visueller Trick: Stell dir einen Kreis vor. Du füllst erst die Hälfte, dann ein Viertel dazu (macht drei Viertel), dann ein Achtel dazu. Du siehst: Ein Achtel fehlt bis zum vollen Kreis. Solche Visualisierungen helfen beim Kopfrechnen enorm.

Frage 4: Ein Schüler berechnet $\frac{5}{6} - \frac{1}{3}$ und erhält $\frac{4}{3}$. Welchen Fehler hat er gemacht?

Der Schüler hat vergessen, den zweiten Bruch zu erweitern, bevor er subtrahiert hat. Er hat wahrscheinlich direkt $5 - 1 = 4$ im Zähler gerechnet und den Nenner 6 aus dem ersten Bruch übernommen. Das ist grundlegend falsch. Die richtige Lösung: Finde den Hauptnenner. Das kgV von 6 und 3 ist 6. Der erste Bruch $\frac{5}{6}$ bleibt, wie er ist. Den zweiten Bruch $\frac{1}{3}$ musst du erweitern: $\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{2}{6}$. Jetzt subtrahierst du: $\frac{5}{6} - \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Der Unterschied ist riesig: $\frac{4}{3}$ ist grösser als 1, während $\frac{1}{2}$ kleiner als 1 ist. Dieser Fehler zeigt, wie wichtig die Plausibilitätskontrolle ist. Wenn du von $\frac{5}{6}$ (fast ein Ganzes) ein Drittel abziehst, kann das Ergebnis unmöglich grösser als 1 sein.

Ausblick: Der nächste Schritt auf deiner Mathe-Reise

Nach dem Addieren und Subtrahieren von Brüchen folgt logisch das Multiplizieren und Dividieren. Diese Operationen funktionieren ganz anders und sind in gewisser Weise sogar einfacher. Du brauchst keinen gemeinsamen Nenner. Bei der Multiplikation multiplizierst du einfach Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner. Die Division führst du durch, indem du mit dem Kehrwert multiplizierst. Diese Techniken eröffnen dir völlig neue Möglichkeiten. Du kannst Anteile von Anteilen berechnen oder Mengen aufteilen. Besonders in der Geometrie wirst du die Multiplikation von Brüchen oft brauchen, etwa beim Berechnen von Flächen. Das sichere Beherrschen von Addition und Subtraktion ist die Grundlage dafür. Du verstehst bereits, wie Brüche funktionieren und wie man sie umformt. Dieses Verständnis wird dir bei den nächsten Rechenarten enorm helfen.

Lösungen zur Übungs-Sektion

Lösung zu Aufgabe 1: Die Brüche sind gleichnamig. Addiere die Zähler und behalte den Nenner bei:

$$\frac{2}{9} + \frac{4}{9} = \frac{2+4}{9} = \frac{6}{9}$$

Kürze das Ergebnis durch 3:

$$\frac{6}{9} = \frac{6:3}{9:3} = \frac{2}{3}$$

Lösung zu Aufgabe 2: Die Brüche sind gleichnamig. Subtrahiere die Zähler:

$$\frac{7}{10} - \frac{3}{10} = \frac{7-3}{10} = \frac{4}{10}$$

Kürze durch 2:

$$\frac{4}{10} = \frac{4:2}{10:2} = \frac{2}{5}$$

Lösung zu Aufgabe 3: Alle drei Brüche haben denselben Nenner. Addiere die Zähler:

$$\frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1+1+1}{6} = \frac{3}{6}$$

Kürze durch 3:

$$\frac{3}{6} = \frac{3:3}{6:3} = \frac{1}{2}$$

Lösung zu Aufgabe 4: Die Nenner sind 3 und 6. Das kgV ist 6. Erweitere den ersten Bruch:

$$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6}$$

Der zweite Bruch bleibt wie er ist. Addiere:

$$\frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4+1}{6} = \frac{5}{6}$$

Lösung zu Aufgabe 5: Die Nenner sind 8 und 4. Das kgV ist 8. Der erste Bruch bleibt. Erweitere den zweiten Bruch:

$$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{2}{8}$$

Subtrahiere:

$$\frac{5}{8} - \frac{2}{8} = \frac{5-2}{8} = \frac{3}{8}$$

Lösung zu Aufgabe 6: Addiere zuerst die erledigten Anteile. Die Nenner sind 3 und 4. Das kgV ist 12. Erweitere beide Brüche:

$$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{4}{12}$$ $$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12}$$

Addiere:

$$\frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$$

Der Schüler hat $\frac{7}{12}$ der Hausaufgaben erledigt. Der Rest ist:

$$1 - \frac{7}{12} = \frac{12}{12} - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$$

Es sind noch $\frac{5}{12}$ der Hausaufgaben offen.

Lösung zu Aufgabe 7: Die Nenner sind 4, 5 und 10. Das kgV ist 20. Erweitere alle Brüche:

$$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{15}{20}$$ $$\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{8}{20}$$ $$\frac{1}{10} = \frac{1 \cdot 2}{10 \cdot 2} = \frac{2}{20}$$

Rechne von links nach rechts:

$$\begin{align*} \frac{15}{20} + \frac{8}{20} - \frac{2}{20} &= \frac{15+8-2}{20} \\ &= \frac{21}{20} \end{align*}$$

Das Ergebnis ist grösser als 1. Du kannst es als gemischten Bruch schreiben: $1\frac{1}{20}$.

Lösung zu Aufgabe 8: Addiere alle drei Streckenabschnitte. Die Nenner sind 7, 14 und 2. Das kgV ist 14. Erweitere die Brüche:

$$\frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{4}{14}$$

Der zweite Bruch bleibt: $\frac{3}{14}$.

$$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 7}{2 \cdot 7} = \frac{7}{14}$$

Addiere alle:

$$\begin{align*} \frac{4}{14} + \frac{3}{14} + \frac{7}{14} &= \frac{4+3+7}{14} \\ &= \frac{14}{14} \\ &= 1 \end{align*}$$

Ja, die Gruppe hat das Ziel genau erreicht. Sie haben die gesamte Strecke zurückgelegt.

Lösung zu Aufgabe 9: Die Nenner sind 6, 9 und 3. Das kgV ist 18. Erweitere alle Brüche:

$$\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{15}{18}$$ $$\frac{2}{9} = \frac{2 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{4}{18}$$ $$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 6}{3 \cdot 6} = \frac{6}{18}$$

Rechne Schritt für Schritt:

$$\begin{align*} \frac{15}{18} - \frac{4}{18} + \frac{6}{18} &= \frac{15-4+6}{18} \\ &= \frac{17}{18} \end{align*}$$

Lösung zu Aufgabe 10: Diese Aufgabe hat mehrere Schritte. Berechne erst die Sahnemenge: $\frac{3}{8} + \frac{1}{2}$. Das kgV von 8 und 2 ist 8. Erweitere:

$$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8}$$ $$\frac{3}{8} + \frac{4}{8} = \frac{7}{8}$$

Berechne die Milchmenge: $\frac{1}{4} + \frac{1}{6}$. Das kgV von 4 und 6 ist 12. Erweitere:

$$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12}$$ $$\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{2}{12}$$ $$\frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}$$

Addiere Sahne und Milch: $\frac{7}{8} + \frac{5}{12}$. Das kgV von 8 und 12 ist 24. Erweitere:

$$\frac{7}{8} = \frac{7 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{21}{24}$$ $$\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{10}{24}$$ $$\begin{align*} \frac{21}{24} + \frac{10}{24} &= \frac{31}{24} \\ &= 1\frac{7}{24} \end{align*}$$

Du benötigst insgesamt $1\frac{7}{24}$ Liter Flüssigkeit, also etwas mehr als einen Liter.