Potenzen und Logarithmen

Einführung

Potenzen und Logarithmen sind zwei fundamentale Konzepte der Mathematik, die eng miteinander verbunden sind. Sie begegnen uns nicht nur im Schulunterricht, sondern spielen auch in Physik, Informatik, Finanzmathematik und vielen anderen Bereichen eine zentrale Rolle. In diesem Artikel erhältst du eine Einführung in beide Themen sowie deren wichtigste Eigenschaften.

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Potenzen

Eine Potenz ist eine abgekürzte Schreibweise für wiederholte Multiplikationen derselben Zahl. Die allgemeine Form einer Potenz ist:

$$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{n\text{-mal}}$$

Hierbei gilt:

• a: die Basis
• n: der Exponent

Beispiel:

$$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$$

Wichtige Potenzgesetze

1. Multiplikation gleicher Basen:

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

2. Division gleicher Basen:

$$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad (a \neq 0)$$

3. Potenz einer Potenz:

$$\left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n}$$

4. Potenz eines Produkts:

$$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$$

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Logarithmen

Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Potenz. Während bei einer Potenz die Basis und der Exponent gegeben sind, sucht man beim Logarithmus den Exponenten.

Definition:

$$\log_a(b) = x \iff a^x = b \quad (a > 0, a \neq 1, b > 0)$$

Beispiel:

$$\log_2(8) = 3 \quad \text{denn } 2^3 = 8$$

Wichtige Logarithmengesetze

1. Produktregel:

$$\log_a(x \cdot y) = \log_a(x) + \log_a(y)$$

2. Quotientenregel:

$$\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a(x) - \log_a(y)$$

3. Potenzregel:

$$\log_a(x^n) = n \cdot \log_a(x)$$

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Zusammenhang zwischen Potenzen und Logarithmen

Potenzen und Logarithmen sind invers zueinander:

$$a^{\log_a(x)} = x \quad \text{und} \quad \log_a(a^x) = x$$

Das bedeutet: Wenn du eine Zahl potenzierst und dann den Logarithmus zur gleichen Basis bildest, erhältst du wieder die ursprüngliche Zahl – und umgekehrt.

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Fazit

Das Verständnis von Potenzen und Logarithmen ist eine wesentliche Grundlage für viele mathematische Themen, wie z. B. Exponentialgleichungen, Wachstums- und Zerfallsprozesse oder auch die Analyse von Algorithmen. Mit den hier vorgestellten Regeln kannst du bereits eine Vielzahl von Aufgaben lösen.