Lineare Gleichungen meistern
Lineare Gleichungen sind das Fundament der Algebra und begegnen uns überall im Alltag. In diesem Beitrag lernst du, wie du sie sicher löst!
Was sind lineare Gleichungen?
Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung der Form ax + b = c, wobei a, b und c Zahlen sind und x die gesuchte Variable ist. Das Besondere: Die Variable kommt nur in der ersten Potenz vor (kein x², x³, etc.).
Beispiele:
- 3x + 5 = 14
- 2x - 7 = x + 3
- -4x + 12 = 0
Ziel 1: Lineare Gleichungen von Hand lösen
Die goldene Regel
Was du auf einer Seite machst, musst du auch auf der anderen Seite machen!
Schritt-für-Schritt Anleitung
Beispiel 1
3x + 5 = 14
Variable isolieren - Bringe alle Terme mit x auf eine Seite
3x + 5 = 14 | -5 (auf beiden Seiten)
3x = 9
Durch den Koeffizienten teilen
3x = 9 | :3 (auf beiden Seiten)
x = 3
Probe machen (immer!)
3 · 3 + 5 = 9 + 5 = 14 ✓
Beispiel 2
2x - 7 = x + 3
Alle x-Terme auf eine Seite
2x - 7 = x + 3 | -x (auf beiden Seiten)
x - 7 = 3
Konstanten auf die andere Seite
x - 7 = 3 | +7 (auf beiden Seiten)
x = 10
Probe:
2 · 10 - 7 = 20 - 7 = 13
10 + 3 = 13 ✓
💡 Merksätze
- Addition ↔ Subtraktion (Umkehroperationen)
- Multiplikation ↔ Division (Umkehroperationen)
- Immer beide Seiten gleichbehandeln!
Ziel 2: Gleichungen mit Parametern lösen
Parameter sind Buchstaben, die für beliebige Zahlen stehen (meist a, b, c, k, m, ...).
Beispiel
Löse nach $ x $ auf
$$ ax + b = c $$
ax + b = c | -b
ax = c - b | :a (falls a ≠ 0)
x = (c - b)/a
Wichtiger Hinweis: Achte darauf, dass der Parameter im Nenner nicht null sein darf!
Beispiel mit konkreten Parametern:
Löse nach x auf: 3x + k = 2k - 1
3x + k = 2k - 1 | -k
3x = 2k - 1 - k | vereinfachen
3x = k - 1 | :3
x = (k - 1)/3
Ziel 3: Textaufgaben lösen
Der 4-Schritte-Plan
- Verstehen: Was ist gesucht?
- Variable definieren: Was ist x?
- Gleichung aufstellen: Übersetze den Text in Mathematik
- Lösen und antworten: Rechne und formuliere die Antwort
Beispielaufgabe
"Lisa denkt sich eine Zahl. Wenn sie das Dreifache dieser Zahl um 7 verringert, erhält sie 14. Wie lautet Lisas Zahl?"
Lösung:
- Gesucht: Lisas Zahl
- Variable: x = Lisas Zahl
- Gleichung: Das Dreifache (3x) um 7 verringert (-7) gibt 14
→ 3x - 7 = 14
Lösen:
3x - 7 = 14 | +7
3x = 21 | :3
x = 7
Antwort: Lisas Zahl ist 7.
Weitere Textaufgaben-Typen
- Altersaufgaben: "Anna ist doppelt so alt wie Ben..."
- Zahlenrätsel: "Die Summe zweier aufeinanderfolgender Zahlen..."
- Geometrie: "Ein Rechteck ist 3 cm länger als breit..."
Übungsaufgaben
Grundlagen:
- 5x - 3 = 17
- 2x + 8 = 4x - 2
- -3x + 12 = 0
Mit Parametern:
4. mx + n = p (löse nach x)
5. ax - 2a = 3a + x (löse nach x)
Textaufgabe:
6. Ein Rechteck ist 5 cm länger als breit. Der Umfang beträgt 26 cm. Wie lang und breit ist das Rechteck?
🔑 Wichtige Tipps
- Ordnung halten: Schreibe jeden Schritt sauber auf
- Probe machen: Setze deine Lösung in die ursprüngliche Gleichung ein
- Bei Parametern: Achte auf Definitionsbereiche (Nenner ≠ 0)
- Textaufgaben: Lies zweimal, definiere klar deine Variable
Häufige Fehler vermeiden:
❌ Nur auf einer Seite rechnen
❌ Vorzeichenfehler bei Subtraktion/Addition
❌ Vergessen, durch den Koeffizienten zu teilen
❌ Keine Probe machen
Mit diesen Grundlagen bist du bestens gerüstet für lineare Gleichungen! Übung macht den Meister – also ran an die Aufgaben! 🚀
Übungsaufgabe 1: Lineare Gleichung lösen
Aufgabe
Löse die folgende lineare Gleichung:
$ 5x - 3 = 17 $
Lösung
Schritt 1: Konstante auf die rechte Seite bringen
$ 5x - 3 = 17 \quad | +3 $
$ 5x = 17 + 3 $
$ 5x = 20 $
Schritt 2: Durch den Koeffizienten teilen
$ 5x = 20 \quad | :5 $
$ x = \frac{20}{5} $
$ x = 4 $
Probe
Setzen wir $x = 4$ in die ursprüngliche Gleichung ein:
$ 5 \cdot 4 - 3 = 20 - 3 = 17 \quad \checkmark $
Die Lösung ist korrekt.