Proportionale Zuordnungen und der Dreisatz – So löst du jede Aufgabe

Stell dir vor, du kaufst im Supermarkt Äpfel. Ein Apfel kostet einen bestimmten Betrag. Zwei Äpfel kosten das Doppelte. Drei Äpfel das Dreifache. Je mehr Äpfel du kaufst, desto mehr zahlst du – und zwar immer im gleichen Verhältnis.

Dieses Prinzip begegnet dir ständig: Beim Tanken, beim Kuchenbacken für mehr Gäste, bei der Berechnung von Fahrzeiten. Die Menge verdoppelt sich? Dann verdoppelt sich auch der Preis, die Zutaten oder die Zeit.

Genau dieses gleichmässige Wachstum nennen wir in der Mathematik eine proportionale Zuordnung. Und der Dreisatz ist dein Werkzeug, um solche Aufgaben systematisch zu lösen.

Von der Alltagssituation zur Mathematik

Bleiben wir beim Apfel-Beispiel. Du weisst: 3 Äpfel kosten 2.40 CHF. Jetzt möchtest du wissen, was 7 Äpfel kosten.

Dein Gehirn denkt automatisch richtig: Zuerst herausfinden, was ein Apfel kostet. Dann mit 7 multiplizieren. Genau das ist der Dreisatz – nur aufgeschrieben.

Der Begriff “Dreisatz” kommt daher, dass du die Lösung in drei Schritten (oder Sätzen) findest. Du startest mit einer bekannten Zuordnung, berechnest den Wert für eine Einheit und rechnest dann auf die gesuchte Menge hoch.

Was ist eine proportionale Zuordnung?

DEFINITION

Bei einer proportionalen Zuordnung gilt: Wenn sich eine Grösse verdoppelt, verdreifacht oder halbiert, dann verändert sich die zugeordnete Grösse im gleichen Verhältnis.

Mathematisch ausgedrückt: Der Quotient (das Verhältnis) aus zwei zugeordneten Werten bleibt immer gleich. Diesen konstanten Wert nennen wir den Proportionalitätsfaktor $k$.

$$k = \frac{y}{x} \quad \text{oder} \quad y = k \cdot x$$

Der Proportionalitätsfaktor $k$ beschreibt, wie viel von der zweiten Grösse $y$ zu einer Einheit der ersten Grösse $x$ gehört. Im Apfel-Beispiel wäre $k$ der Preis pro Apfel.

So stellst du dir den Dreisatz vor

Denke an eine Waage mit zwei Seiten. Links liegt die Anzahl, rechts der Preis. Beide Seiten müssen immer im Gleichgewicht bleiben.

Verdoppelst du die linke Seite? Dann musst du auch die rechte verdoppeln. Teilst du links durch 3? Dann auch rechts durch 3. Das ist das Geheimnis: Was du auf einer Seite machst, machst du auch auf der anderen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

So gehst du bei jeder Dreisatz-Aufgabe vor:

1. Aufschreiben: Notiere die gegebene Zuordnung (z.B. 3 Äpfel → 2.40 CHF).
2. Auf die Einheit: Berechne den Wert für 1 Einheit. Teile beide Seiten durch die bekannte Anzahl.
3. Hochrechnen: Multipliziere beide Seiten mit der gesuchten Anzahl.
4. Antwort: Formuliere einen Antwortsatz mit Einheit.

Typische Fehler beim Dreisatz:

• Einheiten vergessen: Schreibe immer die Einheiten dazu (CHF, kg, km, Stunden). So erkennst du Fehler sofort.
• Falsche Richtung: Bei proportionalen Zuordnungen gilt “mehr → mehr” und “weniger → weniger”. Prüfe, ob dein Ergebnis logisch ist.
• Rechenfehler bei der Division: Teile sorgfältig. Nutze Brüche, wenn das Ergebnis nicht glatt aufgeht.

Beispiele

Beispiel:

Beispiel 1: Einfacher Einkauf

Aufgabe: 4 Brötchen kosten 3.20 CHF. Was kosten 6 Brötchen?

Lösung:

$$\begin{align*} 4 \, \text{Brötchen} &\rightarrow 3.20 \, \text{CHF} \\ 1 \, \text{Brötchen} &\rightarrow 3.20 \, \text{CHF} : 4 = 0.80 \, \text{CHF} \\ 6 \, \text{Brötchen} &\rightarrow 0.80 \, \text{CHF} \cdot 6 = 4.80 \, \text{CHF} \end{align*}$$

Antwort: 6 Brötchen kosten 4.80 CHF.

Beispiel:

Beispiel 2: Mit Variablen und Dezimalzahlen

Aufgabe: Ein Auto verbraucht auf 100 km genau 6.5 Liter Benzin. Wie viel Benzin verbraucht es auf 350 km?

Lösung:

$$\begin{align*} 100 \, \text{km} &\rightarrow 6.5 \, \text{Liter} \\ 1 \, \text{km} &\rightarrow \frac{6.5}{100} \, \text{Liter} = 0.065 \, \text{Liter} \\ 350 \, \text{km} &\rightarrow 0.065 \cdot 350 \, \text{Liter} = 22.75 \, \text{Liter} \end{align*}$$

Antwort: Das Auto verbraucht auf 350 km genau 22.75 Liter Benzin.

Tipp: Du kannst auch direkt rechnen: $\frac{6.5 \cdot 350}{100} = 22.75$

Beispiel:

Beispiel 3: Textaufgabe mit Rückwärtsrechnung

Aufgabe: Für ein Rezept benötigt man 250 g Mehl für 4 Personen. Eine Bäckerei möchte das Rezept für 30 Personen umrechnen. Wie viel Mehl wird benötigt?

Lösung:

Zuerst identifizieren wir die Zuordnung: Personen → Mehl.

$$\begin{align*} 4 \, \text{Personen} &\rightarrow 250 \, \text{g} \\ 1 \, \text{Person} &\rightarrow \frac{250}{4} \, \text{g} = 62.5 \, \text{g} \\ 30 \, \text{Personen} &\rightarrow 62.5 \cdot 30 \, \text{g} = 1875 \, \text{g} \end{align*}$$

Antwort: Für 30 Personen werden 1875 g (oder 1.875 kg) Mehl benötigt.

Woran erkennst du proportionale Zuordnungen?

Nicht jede Zuordnung ist proportional. Achte auf diese Merkmale:

• Je mehr, desto mehr (im gleichen Verhältnis)
• Der Quotient $\frac{y}{x}$ ist für alle Wertepaare gleich
• Der Graph ist eine Gerade durch den Ursprung (0|0)

Ein Gegenbeispiel: Die Schuhgrösse wächst nicht proportional zum Alter. Ein 20-Jähriger hat nicht doppelt so grosse Füsse wie ein 10-Jähriger.

Quiz

❓ Frage: 5 Hefte kosten 8.50 CHF. Was kosten 8 Hefte?

Lösung anzeigen

Ein Heft kostet $8.50 : 5 = 1.70$ CHF.

8 Hefte kosten $1.70 \cdot 8 = 13.60$ CHF.

❓ Frage: Eine Maschine produziert in 3 Stunden 180 Teile. Wie viele Teile produziert sie in 5 Stunden?

Lösung anzeigen

In 1 Stunde: $180 : 3 = 60$ Teile.

In 5 Stunden: $60 \cdot 5 = 300$ Teile.

❓ Frage: Für 12 Personen braucht man 1.5 kg Reis. Wie viel Reis braucht man für 20 Personen?

Lösung anzeigen

Für 1 Person: $\frac{1.5}{12} = 0.125$ kg.

Für 20 Personen: $0.125 \cdot 20 = 2.5$ kg.