Stellenwertsysteme verstehen – Warum die Position einer Ziffer alles verändert

Stellenwertsysteme

Stell dir vor, du spielst ein Spiel mit Münzen. Du hast drei Schachteln vor dir: eine goldene, eine silberne und eine bronzene. In die goldene Schachtel passen nur Hunderter-Münzen, in die silberne nur Zehner-Münzen und in die bronzene nur Einer-Münzen.

Jetzt legst du in jede Schachtel genau 3 Münzen. Obwohl überall die gleiche Anzahl liegt, ist der Wert völlig unterschiedlich: In der goldenen Schachtel hast du 300, in der silbernen 30 und in der bronzenen nur 3.

Die gleiche Ziffer – aber je nachdem, wo sie steht, hat sie einen anderen Wert. Genau so funktioniert unser Zahlensystem!

Von den Schachteln zur Mathematik

Unser alltägliches Zahlensystem arbeitet nach dem gleichen Prinzip wie die Münzschachteln. Jede Position in einer Zahl ist wie eine Schachtel mit einem festen Wert. Schauen wir uns die Zahl 352 an:

Die 3 steht an der Hunderterstelle – sie ist 300 wert. Die 5 steht an der Zehnerstelle – sie ist 50 wert. Die 2 steht an der Einerstelle – sie ist 2 wert.

Zusammen ergibt das: $300 + 50 + 2 = 352$.

Das Besondere daran: Wir brauchen nur zehn verschiedene Ziffern (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), um damit jede beliebige Zahl darzustellen. Der Trick liegt in der Position.

DEFINITION

Das Stellenwertsystem (Dezimalsystem)

In unserem Dezimalsystem hat jede Stelle einen Wert, der eine Zehnerpotenz ist:

$\text{Stellenwert} = 10^{\text{Position}}$

Die Positionen werden von rechts nach links gezählt, beginnend bei 0:

Position	4	3	2	1	0
Stellenwert	$10^4 = 10000$	$10^3 = 1000$	$10^2 = 100$	$10^1 = 10$	$10^0 = 1$
Name	Zehntausender	Tausender	Hunderter	Zehner	Einer

Der Wert einer Zahl ergibt sich aus der Summe: Ziffer × Stellenwert für jede Position.

Was bedeutet das genau?

Die Basis unseres Systems ist 10 – deshalb heisst es auch Dezimalsystem (von lateinisch “decem” = zehn). Das bedeutet: Jede Stelle ist zehnmal so viel wert wie die Stelle rechts daneben.

Wenn du die Zahl 4827 zerlegst, rechnest du:

$4827 = 4 \cdot 1000 + 8 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 7 \cdot 1$

Oder mit Zehnerpotenzen geschrieben:

$4827 = 4 \cdot 10^3 + 8 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10^1 + 7 \cdot 10^0$

Das Kopfkino: Wie du dir Stellenwerte vorstellst

Stell dir eine Zahl wie ein Hotel mit verschiedenen Stockwerken vor. Ganz unten (Erdgeschoss) wohnen die Einer – jeder Gast dort zählt genau 1. Ein Stockwerk höher wohnen die Zehner – jeder Gast dort zählt 10. Noch höher die Hunderter, und so weiter.

Wenn du wissen willst, wie viele Menschen insgesamt im Hotel sind, musst du die Gäste pro Stockwerk mit dem “Stockwerkswert” multiplizieren und alles zusammenzählen.

Schritt-für-Schritt: So zerlegst du eine Zahl

1. Schreibe die Zahl auf und zähle, wie viele Stellen sie hat.
2. Ordne jeder Ziffer ihren Stellenwert zu – beginne rechts mit den Einern ($10^0 = 1$).
3. Multipliziere jede Ziffer mit ihrem Stellenwert.
4. Addiere alle Produkte – das Ergebnis ist der Gesamtwert (zur Kontrolle).

Achtung: Die Null ist wichtig!

Die Null ist keine “leere” Ziffer, die du ignorieren kannst. Sie ist ein Platzhalter, der anzeigt: “An dieser Stelle ist nichts.”

Ohne die Null könntest du 305 nicht von 35 unterscheiden! In 305 zeigt die Null an, dass an der Zehnerstelle keine Zehner stehen:

$305 = 3 \cdot 100 + 0 \cdot 10 + 5 \cdot 1$

Vergiss also nie: Auch wenn eine Null dasteht, hat sie eine wichtige Aufgabe!

Andere Stellenwertsysteme

Unser Dezimalsystem mit der Basis 10 ist nicht das einzige Stellenwertsystem. Computer arbeiten zum Beispiel mit dem Binärsystem (Basis 2), das nur die Ziffern 0 und 1 kennt.

Im Binärsystem sind die Stellenwerte Zweierpotenzen:

Position	4	3	2	1	0
Stellenwert	$2^4 = 16$	$2^3 = 8$	$2^2 = 4$	$2^1 = 2$	$2^0 = 1$

Die Binärzahl 10110 bedeutet also:

$1 \cdot 16 + 0 \cdot 8 + 1 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = 16 + 4 + 2 = 22$

Das Prinzip bleibt immer gleich – nur die Basis ändert sich!

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Beispiele

Beispiel:

Beispiel 1: Einfache Zerlegung

Zerlege die Zahl 536 in ihre Stellenwerte.

Lösung:

Die Zahl hat drei Stellen. Wir ordnen zu:

• 5 steht an der Hunderterstelle: $5 \cdot 100 = 500$
• 3 steht an der Zehnerstelle: $3 \cdot 10 = 30$
• 6 steht an der Einerstelle: $6 \cdot 1 = 6$

Ergebnis: $536 = 5 \cdot 100 + 3 \cdot 10 + 6 \cdot 1 = 500 + 30 + 6$

Beispiel:

Beispiel 2: Zahl mit Nullen

Zerlege die Zahl 20405 in ihre Stellenwerte und schreibe sie mit Zehnerpotenzen.

Lösung:

Die Zahl hat fünf Stellen. Wir gehen von links nach rechts:

• 2 steht an der Zehntausenderstelle: $2 \cdot 10^4 = 20000$
• 0 steht an der Tausenderstelle: $0 \cdot 10^3 = 0$
• 4 steht an der Hunderterstelle: $4 \cdot 10^2 = 400$
• 0 steht an der Zehnerstelle: $0 \cdot 10^1 = 0$
• 5 steht an der Einerstelle: $5 \cdot 10^0 = 5$

Ergebnis: $20405 = 2 \cdot 10^4 + 0 \cdot 10^3 + 4 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10^1 + 5 \cdot 10^0$

Kontrolle: $20000 + 0 + 400 + 0 + 5 = 20405$ ✓

Beispiel:

Beispiel 3: Vom Stellenwert zur Zahl

Welche Zahl wird hier beschrieben?

“Die Ziffer 7 steht an der Tausenderstelle, die Ziffer 2 an der Hunderterstelle, an der Zehnerstelle steht nichts, und die Ziffer 9 steht an der Einerstelle.”

Lösung:

Wir bauen die Zahl Stelle für Stelle auf:

• Tausenderstelle: 7
• Hunderterstelle: 2
• Zehnerstelle: “nichts” bedeutet 0
• Einerstelle: 9

Ergebnis: Die gesuchte Zahl ist 7209.

Probe: $7 \cdot 1000 + 2 \cdot 100 + 0 \cdot 10 + 9 \cdot 1 = 7000 + 200 + 0 + 9 = 7209$ ✓

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Quiz: Teste dein Wissen!

❓ Frage: Welchen Wert hat die Ziffer 8 in der Zahl 3821?

Lösung anzeigen

Die 8 steht an der Hunderterstelle. Ihr Wert ist daher $8 \cdot 100 = 800$.

❓ Frage: Schreibe die Zahl 4506 als Summe mit Zehnerpotenzen.

Lösung anzeigen

$4506 = 4 \cdot 10^3 + 5 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10^1 + 6 \cdot 10^0$

❓ Frage: Die Binärzahl 1101 (Basis 2) entspricht welcher Dezimalzahl?

Lösung anzeigen

Wir rechnen: $1 \cdot 8 + 1 \cdot 4 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13$. Die Binärzahl 1101 entspricht der Dezimalzahl 13.