Potenzen: Die Superkraft der faulen Mathematiker

Stell dir vor, du bist ein berühmter Erfinder, aber du bist unglaublich faul, wenn es ums Schreiben geht. Du hast gerade eine Maschine erfunden, die alles verdoppelt. Du legst eine Münze rein, zack: 2 Münzen. Die legst du wieder rein, zack: 4 Münzen. Dann 8, dann 16, dann 32…

Wenn du das aufschreiben müsstest, würde dein Notizblock schnell so aussehen: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \dots$

Das ist unübersichtlich und dauert ewig. Genau wie wir Abkürzungen beim Chatten benutzen (z.B. “hdl” oder Emojis), haben Mathematiker eine Abkürzung für “ganz oft mit derselben Zahl malnehmen” erfunden. Diese Abkürzung nennen wir Potenzieren.

Wie eine Potenz aufgebaut ist

Eine Potenz besteht aus zwei Zahlen, die eine feste Rolle spielen. Es ist wichtig, sie nicht zu verwechseln, sonst kommt ein völlig falsches Ergebnis heraus.

• Die Basis (Grundzahl): Das ist die große Zahl unten. Sie ist die Zahl, die multipliziert wird.
• Der Exponent (Hochzahl): Das ist die kleine Zahl oben rechts. Sie ist der “Boss” und befiehlt, wie oft die Basis mit sich selbst malgenommen wird.

DEFINITION

Merke: Eine Potenz $a^n$ ist eine Kurzschreibweise für eine Multiplikation. Man spricht es: “a hoch n”.

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n-\text{mal}}$

Wichtig: $2^3$ ist NICHT $2 \cdot 3$ (was 6 wäre), sondern $2 \cdot 2 \cdot 2$ (was 8 ist).

Beispiele aus der Praxis

Schauen wir uns an, wie das Rechnen funktioniert.

Beispiel:

Beispiel 1: Der Einstieg (Quadratzahlen)

Berechne die Potenz $4^2$.

Lösung: Der Exponent ist $2$. Das bedeutet, wir müssen die Basis ($4$) zweimal hinschreiben und dazwischen ein Malzeichen setzen.

$4^2 = 4 \cdot 4 = 16$

Sprechweise: “Vier hoch zwei” oder oft auch “Vier zum Quadrat”.

Beispiel:

Beispiel 2: Ein bisschen mehr Arbeit

Berechne die Potenz $2^5$.

Lösung: Hier befiehlt der Exponent ($5$) der Basis ($2$), sich fünfmal aufzustellen.

$2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Wir rechnen Schritt für Schritt:

1. $2 \cdot 2 = 4$
2. $4 \cdot 2 = 8$
3. $8 \cdot 2 = 16$
4. $16 \cdot 2 = 32$

Das Ergebnis ist also 32.

Beispiel:

Beispiel 3: Die Nachrichtenkette

Du erzählst ein spannendes Geheimnis an 3 Freunde weiter. Du sagst jedem: “Erzähl es morgen genau 3 anderen Leuten weiter!” Wenn sich alle daran halten, wie viele neue Leute erfahren das Geheimnis in der 3. Runde (am 3. Tag)?

Lösung:

• Tag 1: $3$ Leute wissen es.
• Tag 2: Jeder der 3 erzählt es 3 anderen: $3 \cdot 3 = 9$ Leute.
• Tag 3: Jeder der 9 erzählt es 3 anderen.

Das schreiben wir als Potenz: $3^3$

Rechnung: $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$

Antwort: In der 3. Runde erfahren 27 neue Leute das Geheimnis.

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Teste dein Wissen

Hast du das Prinzip verstanden? Pass auf die Fallen auf!

❓ Frage: Was ist das Ergebnis von $5^2$?

Lösung anzeigen

Das Ergebnis ist $25$, denn $5 \cdot 5 = 25$.

❓ Frage: Was ergibt $2^3$?

Lösung anzeigen

Das Ergebnis ist $8$, denn $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.

❓ Frage: Wie nennt man die kleine Zahl oben rechts bei einer Potenz?

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Exponent

❓ Frage: Wahr oder Falsch? $3^4$ ist das Gleiche wie $3 \cdot 4$.

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Falsch