Die natürlichen Zahlen – Deine ersten Bausteine der Mathematik

Stell dir vor, du sammelst Murmeln. Du hast eine Schachtel und legst nach und nach Murmeln hinein: erst eine, dann zwei, dann drei … Du könntest ewig so weitermachen – es gibt keine Grenze, wie viele Murmeln du theoretisch sammeln könntest.

Genau so funktionieren die natürlichen Zahlen! Sie sind wie eine unendlich lange Reihe von Murmeln, die bei 1 beginnt und niemals aufhört. Diese Zahlen begleiten dich schon dein ganzes Leben: beim Zählen deiner Spielsachen, beim Abzählen in der Schlange oder wenn du die Stufen einer Treppe hochsteigst.

Von Murmeln zu Zahlen – Der Weg zur Mathematik

Zurück zu deiner Murmelsammlung: Wenn du jemandem erzählen willst, wie viele Murmeln du hast, benutzt du Zahlen. Du sagst nicht “viele” oder “ein Haufen”, sondern ganz genau: “Ich habe 17 Murmeln.”

Diese Zahlen, mit denen wir zählen, haben in der Mathematik einen besonderen Namen. Mathematiker haben sich überlegt: Wenn wir alle diese Zählzahlen in eine grosse “Schublade” packen, wie nennen wir diese Schublade dann?

Die Antwort: die Menge der natürlichen Zahlen.

Was ist überhaupt eine “Menge”?

Eine Menge ist einfach eine Sammlung von Dingen, die zusammengehören. Denk an eine Obstkiste: In der Kiste liegen Äpfel, Birnen und Orangen – das ist eine Menge von Früchten. In der Mathematik sammeln wir Zahlen in solchen “Kisten”.

DEFINITION

Die Menge der natürlichen Zahlen enthält alle positiven ganzen Zahlen, mit denen wir zählen können.

$\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, \ldots\}$

Das besondere Symbol $\mathbb{N}$ (ein doppelt gestrichenes N) steht für “Natürliche Zahlen”.

Die geschweiften Klammern $\{ \}$ zeigen an, dass es sich um eine Menge handelt.

Die drei Punkte $\ldots$ bedeuten: “und so weiter, ohne Ende”.

Wie stellst du dir das vor?

Stell dir die natürlichen Zahlen wie eine unendlich lange Perlenkette vor. Jede Perle ist eine Zahl, und sie sind der Reihe nach aufgefädelt: erst die 1, dann die 2, dann die 3 … Die Kette hat zwar einen Anfang (die 1), aber kein Ende – du könntest ewig neue Perlen auffädeln.

Oder denk an eine Treppe, die in den Himmel führt: Du startest auf Stufe 1, gehst zu Stufe 2, dann zu Stufe 3 … Egal wie hoch du steigst, es gibt immer noch eine weitere Stufe.

Die Schreibweise verstehen

Wenn Mathematiker aufschreiben wollen, dass eine Zahl zu den natürlichen Zahlen gehört, benutzen sie das Zeichen $\in$ (sprich: “ist Element von” oder “gehört zu”):

• $5 \in \mathbb{N}$ bedeutet: “5 gehört zu den natürlichen Zahlen” ✓
• $100 \in \mathbb{N}$ bedeutet: “100 gehört zu den natürlichen Zahlen” ✓

Wenn eine Zahl nicht dazugehört, schreibt man $\notin$:

• $-3 \notin \mathbb{N}$ bedeutet: “Minus 3 gehört nicht zu den natürlichen Zahlen” ✓
• $2{,}5 \notin \mathbb{N}$ bedeutet: “2,5 gehört nicht zu den natürlichen Zahlen” ✓

Was gehört dazu – und was nicht?

Dazu gehören:

• Alle positiven ganzen Zahlen: $1, 2, 3, 4, 5, \ldots$
• Auch riesige Zahlen wie $1\,000\,000$ oder $999\,999\,999$

Nicht dazu gehören:

• Negative Zahlen wie $-5$ oder $-100$ (du kannst nicht “minus drei Murmeln” haben)
• Kommazahlen wie $3{,}5$ oder $0{,}7$ (eine halbe Murmel zählt nicht als ganze Murmel)
• Brüche wie $\frac{1}{2}$ oder $\frac{3}{4}$

Achtung – Die Sache mit der Null!

Hier gibt es eine Besonderheit, die oft Verwirrung stiftet: Manche Mathematiker zählen die $0$ zu den natürlichen Zahlen dazu, manche nicht.

• $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \ldots\}$ – ohne Null (so verwenden wir es hier)
• $\mathbb{N}_0 = \{0, 1, 2, 3, 4, \ldots\}$ – mit Null

Wenn die Null dabei sein soll, schreibt man oft $\mathbb{N}_0$ (sprich: “N-Null”). Achte in Aufgaben immer darauf, welche Version gemeint ist! Frag im Zweifel deine Lehrerin oder deinen Lehrer.

Schritt-für-Schritt: So prüfst du, ob eine Zahl natürlich ist

1. Ist die Zahl positiv? (grösser als Null) – Wenn nein: keine natürliche Zahl.
2. Ist die Zahl eine ganze Zahl? (ohne Komma oder Bruch) – Wenn nein: keine natürliche Zahl.
3. Ist die Zahl ungleich Null? – Bei $\mathbb{N}$ ohne Null: Wenn die Zahl 0 ist, gehört sie nicht dazu.

Wenn alle Fragen mit “Ja” beantwortet sind, ist es eine natürliche Zahl!

Beispiele

Beispiel:

Beispiel 1: Einfache Zuordnung

Welche dieser Zahlen sind natürliche Zahlen?

$7, \quad -2, \quad 15, \quad 3{,}5, \quad 1$

Lösung:

• $7$ → positiv und ganz → $7 \in \mathbb{N}$ ✓
• $-2$ → negativ → $-2 \notin \mathbb{N}$ ✗
• $15$ → positiv und ganz → $15 \in \mathbb{N}$ ✓
• $3{,}5$ → Kommazahl → $3{,}5 \notin \mathbb{N}$ ✗
• $1$ → positiv und ganz → $1 \in \mathbb{N}$ ✓

Antwort: Die natürlichen Zahlen sind $1$, $7$ und $15$.

Beispiel:

Beispiel 2: Mit der Null und grösseren Zahlen

Entscheide für jede Zahl: Gehört sie zu $\mathbb{N}$ oder zu $\mathbb{N}_0$?

$0, \quad 42, \quad -10, \quad 1\,000\,000$

Lösung:

• $0$ → nicht in $\mathbb{N}$, aber in $\mathbb{N}_0$ ✓
• $42$ → in $\mathbb{N}$ und in $\mathbb{N}_0$ ✓
• $-10$ → negativ → weder in $\mathbb{N}$ noch in $\mathbb{N}_0$ ✗
• $1\,000\,000$ → in $\mathbb{N}$ und in $\mathbb{N}_0$ ✓

Antwort: $42$ und $1\,000\,000$ gehören zu beiden Mengen. Die $0$ gehört nur zu $\mathbb{N}_0$. Die $-10$ gehört zu keiner der beiden.

Beispiel:

Beispiel 3: Textaufgabe

Lisa sagt: “Ich denke mir eine Zahl aus $\mathbb{N}$. Wenn ich 5 dazuzähle, erhalte ich 8.”

Welche Zahl hat Lisa sich gedacht? Prüfe, ob das Ergebnis wirklich eine natürliche Zahl ist.

Lösung:

Wir rechnen rückwärts: $8 - 5 = 3$

Prüfung: Ist $3$ eine natürliche Zahl?

• Positiv? Ja ✓
• Ganze Zahl? Ja ✓
• Ungleich Null? Ja ✓

Antwort: Lisa hat sich die Zahl $3$ gedacht, und $3 \in \mathbb{N}$ stimmt.

Quiz – Teste dein Wissen!

❓ Frage: Welches Symbol steht für die Menge der natürlichen Zahlen?

Lösung anzeigen

Das Symbol ist $\mathbb{N}$ (ein doppelt gestrichenes N).

❓ Frage: Ist die Zahl $-7$ eine natürliche Zahl? Begründe kurz.

Lösung anzeigen

Nein, $-7 \notin \mathbb{N}$, denn natürliche Zahlen sind immer positiv. Negative Zahlen gehören nicht dazu.

❓ Frage: Nenne die kleinste natürliche Zahl (wenn $\mathbb{N}$ ohne Null definiert ist).

Lösung anzeigen

Die kleinste natürliche Zahl ist $1$.