Kommutativ- und Assoziativgesetz – Warum die Reihenfolge (manchmal) egal ist

Stell dir vor, du räumst deinen Rucksack für die Schule. Du packst zuerst das Mathebuch rein, dann das Federmäppchen, dann die Trinkflasche. Dein Freund macht es anders: erst die Trinkflasche, dann das Mathebuch, dann das Federmäppchen.

Am Ende habt ihr beide genau dieselben drei Sachen im Rucksack – die Reihenfolge hat nichts am Ergebnis geändert!

Oder denk ans Tischdecken: Ob du zuerst Teller und Gabel zusammen hinlegst und dann das Messer dazutust, oder ob du zuerst Gabel und Messer nimmst und dann den Teller dazustellst – am Ende liegt das gleiche Gedeck auf dem Tisch.

Genau so funktioniert es auch in der Mathematik – zumindest bei bestimmten Rechenarten. Und das hat sogar einen Namen!

Das Kommutativgesetz – Die Reihenfolge ist egal

Das Wort “kommutativ” kommt vom lateinischen Wort “commutare”, das bedeutet “vertauschen”. Das Kommutativgesetz sagt uns: Bei bestimmten Rechenarten dürfen wir die Zahlen vertauschen, ohne dass sich das Ergebnis ändert.

Vom Rucksack zur Rechnung

Erinnere dich an den Rucksack: Egal ob du 3 schwere Bücher und dann 2 Hefte einpackst, oder erst die 2 Hefte und dann die 3 Bücher – du hast am Ende immer 5 Sachen dabei. In Mathe-Sprache: $3 + 2 = 2 + 3 = 5$ .

Das Gleiche gilt beim Zählen von Gegenständen in Gruppen: 4 Reihen mit je 3 Stühlen ergeben genauso viele Stühle wie 3 Reihen mit je 4 Stühlen. Zähl ruhig nach – es sind immer 12 Stühle! Also: $4 \cdot 3 = 3 \cdot 4 = 12$ .

DEFINITION

Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)

Bei der Addition gilt für alle Zahlen $a$ und $b$ : $a + b = b + a$

Bei der Multiplikation gilt für alle Zahlen $a$ und $b$ : $a \cdot b = b \cdot a$

Die Variablen $a$ und $b$ sind dabei Platzhalter – du kannst jede beliebige Zahl einsetzen. Das Gesetz funktioniert immer!

So kannst du es dir vorstellen

Stell dir die Addition wie das Zusammenschieben von zwei Haufen Murmeln vor. Ob der linke Haufen zum rechten geschoben wird oder umgekehrt – am Ende liegt alles auf einem Haufen, und die Anzahl bleibt gleich.

Bei der Multiplikation hilft das Bild eines Rechtecks aus Punkten: Ein Rechteck mit 4 Spalten und 3 Zeilen hat genauso viele Punkte wie eines mit 3 Spalten und 4 Zeilen. Du drehst es quasi nur um 90 Grad!

Achtung: Nicht bei Subtraktion und Division!

Das Kommutativgesetz gilt nur für Addition und Multiplikation – nicht für Subtraktion und Division!

$7 - 3 = 4$ , aber $3 - 7 = -4$ → Das ist nicht dasselbe!
$12 : 4 = 3$ , aber $4 : 12 = \frac{1}{3}$ → Auch nicht dasselbe!

Merke dir: Minus und Geteilt sind “empfindlich” – da zählt die Reihenfolge!

Das Assoziativgesetz – Die Klammern sind egal

Das Wort “assoziativ” kommt von “assoziieren”, was “verknüpfen” oder “zusammenfassen” bedeutet. Das Assoziativgesetz sagt uns: Wenn wir mehrere Zahlen addieren oder multiplizieren, ist es egal, welche wir zuerst zusammenfassen.

Vom Tischdecken zur Rechnung

Denk nochmal ans Tischdecken: Du hast 2 Gabeln, 3 Messer und 4 Löffel. Du könntest erst Gabeln und Messer zusammenzählen (das sind 5) und dann die Löffel dazurechnen: $(2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9$ .

Oder du zählst erst Messer und Löffel zusammen (das sind 7) und addierst dann die Gabeln: $2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9$ .

Beide Wege führen zum selben Ergebnis!

DEFINITION

Das Assoziativgesetz (Verknüpfungsgesetz)

Bei der Addition gilt für alle Zahlen $a$ , $b$ und $c$ : $(a + b) + c = a + (b + c)$

Bei der Multiplikation gilt für alle Zahlen $a$ , $b$ und $c$ : $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

Die Klammern zeigen an, welche Rechnung du zuerst ausführst. Das Assoziativgesetz erlaubt dir, die Klammern zu verschieben – das Ergebnis bleibt gleich.

So kannst du es dir vorstellen

Stell dir vor, du hast drei Gruppen von Freunden, die sich treffen wollen. Bei der Addition ist es egal, ob sich zuerst Gruppe A mit Gruppe B trifft und dann C dazukommt, oder ob sich erst B und C treffen und dann A dazustösst – am Ende sind alle zusammen.

Bei der Multiplikation hilft das Bild eines Quaders: Ob du erst Länge mal Breite rechnest und dann mal Höhe, oder erst Breite mal Höhe und dann mal Länge – das Volumen (also die Anzahl der kleinen Würfelchen) bleibt immer gleich.

Achtung: Auch hier gilt – nicht bei Subtraktion und Division!

Das Assoziativgesetz funktioniert nur bei Addition und Multiplikation!

$(10 - 5) - 2 = 5 - 2 = 3$ , aber $10 - (5 - 2) = 10 - 3 = 7$ → Unterschiedlich!
$(24 : 6) : 2 = 4 : 2 = 2$ , aber $24 : (6 : 2) = 24 : 3 = 8$ → Auch unterschiedlich!

Bei Minus und Geteilt darfst du die Klammern nicht einfach verschieben!

Wozu braucht man diese Gesetze?

Du fragst dich vielleicht: “Warum lerne ich das?” Die Antwort ist einfach: Diese Gesetze machen dir das Rechnen leichter!

Geschickt rechnen mit dem Kommutativgesetz

Wenn du $17 + 48 + 3$ rechnen sollst, kannst du die Zahlen umstellen: $17 + 3 + 48 = 20 + 48 = 68$ . Viel einfacher!

Geschickt rechnen mit dem Assoziativgesetz

Bei $4 \cdot 7 \cdot 25$ kannst du zuerst $4 \cdot 25 = 100$ rechnen, dann $100 \cdot 7 = 700$ . Das geht im Kopf!

Schritt-für-Schritt: So nutzt du die Gesetze

Schau dir die Aufgabe an: Sind nur Additionen oder nur Multiplikationen vorhanden?
Wenn ja, darfst du die Gesetze anwenden.
Suche nach Zahlen, die zusammen eine “schöne” Zahl ergeben (z.B. 10, 100, 1000).
Stelle die Zahlen um (Kommutativgesetz) oder setze Klammern neu (Assoziativgesetz).
Rechne die einfachen Teile zuerst.

Beispiele

Beispiel:

Beispiel 1: Einfache Anwendung des Kommutativgesetzes

Berechne $8 + 15 + 2$ .

Lösung:

Wir suchen Zahlen, die zusammen eine runde Summe ergeben. $8 + 2 = 10$ – das ist praktisch!

$8 + 15 + 2 = 8 + 2 + 15 = 10 + 15 = 25$

Durch das Vertauschen konnten wir die Aufgabe im Kopf lösen.

Beispiel:

Beispiel 2: Kombination beider Gesetze mit grösseren Zahlen

Berechne $25 \cdot 17 \cdot 4$ .

Lösung:

Direkt $25 \cdot 17$ zu rechnen ist mühsam. Aber $25 \cdot 4 = 100$ – das ist eine schöne Zahl!

Wir nutzen das Kommutativgesetz zum Umstellen und das Assoziativgesetz zum Zusammenfassen:

$25 \cdot 17 \cdot 4 = 25 \cdot 4 \cdot 17 = (25 \cdot 4) \cdot 17 = 100 \cdot 17 = 1700$

Beispiel:

Beispiel 3: Textaufgabe – Welches Gesetz steckt dahinter?

Lisa sammelt Muscheln am Strand. Am Montag findet sie 12 Muscheln, am Dienstag 8 und am Mittwoch 18. Sie rechnet: “12 plus 18 ist 30, plus 8 ist 38.”

Ihre Freundin Mia rechnet: “12 plus 8 ist 20, plus 18 ist auch 38.”

Haben beide recht? Welche Gesetze haben sie benutzt?

Lösung:

Ja, beide haben recht!

Lisa hat das Kommutativgesetz benutzt, um $12 + 18$ zuerst zu rechnen (sie hat die 8 und die 18 im Kopf vertauscht), und dann das Assoziativgesetz, um $(12 + 18) + 8$ zu rechnen.

Mia hat einfach von links nach rechts gerechnet: $(12 + 8) + 18$ .

Beide Wege sind korrekt, weil bei der Addition sowohl das Kommutativ- als auch das Assoziativgesetz gelten.

Quiz – Teste dein Wissen!

❓ Frage:

Berechne geschickt: $5 \cdot 13 \cdot 2$

Lösung anzeigen

Wir nutzen das Kommutativgesetz und rechnen zuerst $5 \cdot 2 = 10$ : $5 \cdot 13 \cdot 2 = 5 \cdot 2 \cdot 13 = 10 \cdot 13 = 130$

❓ Frage:

Gilt das Kommutativgesetz bei dieser Rechnung? $15 - 7 = 7 - 15$

Lösung anzeigen

Nein! Das Kommutativgesetz gilt nicht bei der Subtraktion.

$15 - 7 = 8$ , aber $7 - 15 = -8$

Die Ergebnisse sind unterschiedlich, also darf man hier nicht vertauschen.

❓ Frage:

Berechne $19 + 7 + 11 + 3$ möglichst geschickt.

Lösung anzeigen

Wir suchen Paare, die zusammen runde Zahlen ergeben:

$19 + 11 = 30$ und $7 + 3 = 10$

Also: $19 + 7 + 11 + 3 = (19 + 11) + (7 + 3) = 30 + 10 = 40$

Hier haben wir beide Gesetze genutzt!