Im Kopf multiplizieren und dividieren – Rechentricks für Profis

Stell dir vor, du bist mit drei Freunden im Kiosk. Ihr wollt euch zusammen eine grosse Packung Gummibärchen für 12 Franken teilen. Wie viel muss jeder bezahlen? Oder: Du hilfst beim Tischdecken und sollst 6 Teller holen – aber für 4 Tische. Wie viele Teller brauchst du insgesamt?

Solche Situationen erlebst du ständig. Und jedes Mal das Handy rauszuholen, um zu rechnen? Das dauert viel zu lange! Mit ein paar cleveren Tricks kannst du solche Aufgaben blitzschnell im Kopf lösen – ganz ohne Papier oder Taschenrechner.

Vom Alltag zur Mathematik

Schauen wir uns die Situationen von oben noch einmal an:

Die Gummibärchen: 12 Franken für 4 Personen bedeutet: Du teilst 12 gerecht auf 4 auf. Das schreibt man als $12 : 4$.

Die Teller: 6 Teller pro Tisch, 4 Tische – das heisst: 4 mal die 6. Das schreibt man als $4 \cdot 6$ oder $6 \cdot 4$.

Das Tolle ist: Dein Gehirn kann solche Rechnungen viel schneller lösen, als du denkst. Du musst ihm nur die richtigen Tricks beibringen!

Die Grundlage: Das kleine Einmaleins

Bevor wir zu den Tricks kommen, eine wichtige Nachricht: Die Basis für alles Kopfrechnen ist das kleine Einmaleins. Die Aufgaben von $1 \cdot 1$ bis $10 \cdot 10$ solltest du auswendig kennen – so wie deinen eigenen Namen.

DEFINITION

Das kleine Einmaleins umfasst alle Malaufgaben von $1 \cdot 1 = 1$ bis $10 \cdot 10 = 100$.

Die Umkehraufgaben (Divisionen) ergeben sich automatisch daraus:

• Wenn $6 \cdot 7 = 42$, dann ist auch $42 : 7 = 6$ und $42 : 6 = 7$.

Jede Malaufgabe hat also zwei passende Geteiltaufgaben. Sie gehören zusammen wie eine Familie!

Trick 1: Zerlegen macht’s leichter

Das Kopfkino

Stell dir eine grosse Zahl wie einen Geldschein vor. Einen 50-Franken-Schein kannst du in kleinere Scheine wechseln – zum Beispiel in einen 20er und einen 30er. Genauso kannst du grosse Zahlen in kleinere “wechseln”, die sich leichter rechnen lassen.

So funktioniert’s bei der Multiplikation

Wenn du zum Beispiel $7 \cdot 14$ rechnen sollst, zerlegst du die 14 in zwei Teile, die du gut im Kopf rechnen kannst:

$7 \cdot 14 = 7 \cdot 10 + 7 \cdot 4 = 70 + 28 = 98$

Du rechnest also zwei einfache Aufgaben statt einer schwierigen!

So funktioniert’s bei der Division

Bei $84 : 4$ zerlegst du die 84 geschickt:

$84 : 4 = 80 : 4 + 4 : 4 = 20 + 1 = 21$

DEFINITION

Die Zerlegungsmethode:

Multiplikation: Zerlege einen Faktor in eine Summe, rechne einzeln, addiere die Ergebnisse. $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

Division: Zerlege den Dividenden (die erste Zahl) in Teile, die durch den Divisor teilbar sind. $(a + b) : c = a : c + b : c$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Schau dir die Aufgabe an und überlege: Welche Zahl ist “unhandlich”?
2. Zerlege diese Zahl in zwei Teile, die du leicht rechnen kannst (am besten mit Zehnern oder Einmaleins-Zahlen).
3. Rechne beide Teilaufgaben im Kopf.
4. Addiere die Ergebnisse.

Achtung – Typische Fehler:

• Vergiss nicht beide Teile! Bei $5 \cdot 23$ musst du $5 \cdot 20$ UND $5 \cdot 3$ rechnen. Viele vergessen den zweiten Teil.
• Bei der Division: Du kannst nur den Dividenden (die vordere Zahl) zerlegen, NICHT den Divisor (die hintere Zahl)! Also $84 : 4$ geht, aber $84 : 14$ funktioniert so nicht gut.

Trick 2: Verdoppeln und Halbieren

Das Kopfkino

Stell dir vor, du hast 8 Päckchen Karten mit je 25 Karten. Anstatt $8 \cdot 25$ direkt zu rechnen, machst du Folgendes: Du legst immer zwei Päckchen zusammen (halbierst die Anzahl) und verdoppelst dafür die Karten pro Päckchen.

• 8 Päckchen mit je 25 Karten
• = 4 Päckchen mit je 50 Karten
• = 2 Päckchen mit je 100 Karten
• = 200 Karten!

So funktioniert der Trick

Du halbierst die eine Zahl und verdoppelst gleichzeitig die andere. Das Ergebnis bleibt gleich!

$8 \cdot 25 = 4 \cdot 50 = 2 \cdot 100 = 200$

Das klappt besonders gut, wenn eine der Zahlen durch 2 teilbar ist und die andere beim Verdoppeln “runder” wird.

DEFINITION

Das Verdoppeln-Halbieren-Prinzip:

Wenn du eine Zahl halbierst und die andere verdoppelst, bleibt das Produkt gleich: $a \cdot b = (a : 2) \cdot (b \cdot 2)$

Das funktioniert, weil $(a : 2) \cdot (b \cdot 2) = a \cdot b \cdot \frac{2}{2} = a \cdot b \cdot 1 = a \cdot b$

Trick 3: Mit Zehnern und Hundertern arbeiten

Das Kopfkino

Zahlen wie 9, 99 oder 19 sind “fast rund”. Sie sind nur einen Schritt von einer glatten Zahl entfernt. Das kannst du nutzen!

So funktioniert’s

Bei $6 \cdot 9$ denkst du: “9 ist fast 10!”

$6 \cdot 9 = 6 \cdot 10 - 6 \cdot 1 = 60 - 6 = 54$

Oder bei $4 \cdot 99$:

$4 \cdot 99 = 4 \cdot 100 - 4 \cdot 1 = 400 - 4 = 396$

DEFINITION

Der Fast-Rund-Trick:

Wenn eine Zahl knapp unter einer Zehnerzahl liegt: $a \cdot (10 - 1) = a \cdot 10 - a$ $a \cdot (100 - 1) = a \cdot 100 - a$

Allgemein: $a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$

Achtung beim Subtrahieren:

Hier wird am Ende subtrahiert, nicht addiert! Viele rechnen aus Gewohnheit $60 + 6$ statt $60 - 6$. Achte genau darauf, ob die “fast runde” Zahl knapp unter (dann minus) oder knapp über (dann plus) der glatten Zahl liegt.

Trick 4: Division als Umkehrung nutzen

Das Kopfkino

Division und Multiplikation sind wie Hin- und Rückweg. Wenn du weisst, dass der Hinweg 3 km lang ist, kennst du auch den Rückweg.

Genauso: Wenn du $7 \cdot 8 = 56$ weisst, kennst du automatisch auch $56 : 8 = 7$ und $56 : 7 = 8$.

So funktioniert’s

Bei $72 : 8$ fragst du dich einfach: “8 mal wie viel ist 72?”

Du durchsuchst im Kopf das Einmaleins: $8 \cdot 9 = 72$ – also ist $72 : 8 = 9$.

DEFINITION

Division als Umkehraufgabe:

Zu jeder Divisionsaufgabe $a : b = ?$ gehört eine Malaufgabe: $a : b = c \quad \Leftrightarrow \quad b \cdot c = a$

Frage dich: ”$b$ mal wie viel ergibt $a$?”

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Beispiele

Beispiel:

Beispiel 1: Einfache Zerlegung

Berechne $6 \cdot 13$ im Kopf.

Lösung:

• Zerlege die 13: $13 = 10 + 3$
• Rechne: $6 \cdot 10 = 60$
• Rechne: $6 \cdot 3 = 18$
• Addiere: $60 + 18 = 78$

Ergebnis: $6 \cdot 13 = 78$

Beispiel:

Beispiel 2: Verdoppeln und Halbieren

Berechne $16 \cdot 25$ im Kopf.

Lösung:

• 16 ist gut halbierbar, 25 wird beim Verdoppeln zu 50
• Halbiere und verdopple: $16 \cdot 25 = 8 \cdot 50$
• Nochmal: $8 \cdot 50 = 4 \cdot 100$
• Das ist einfach: $4 \cdot 100 = 400$

Ergebnis: $16 \cdot 25 = 400$

Beispiel:

Beispiel 3: Textaufgabe

Lena kauft 7 Hefte. Jedes Heft kostet 3 Franken. Sie bezahlt mit einem 50-Franken-Schein. Wie viel Wechselgeld bekommt sie?

Lösung:

• Zuerst: Was kosten alle Hefte? $7 \cdot 3 = 21$ Franken
• Dann: Wechselgeld berechnen: $50 - 21 = 29$ Franken

Antwort: Lena bekommt 29 Franken Wechselgeld.

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Quiz: Teste dein Können!

❓ Frage: Berechne im Kopf: $8 \cdot 15 = ?$

Lösung anzeigen

$8 \cdot 15 = 8 \cdot 10 + 8 \cdot 5 = 80 + 40 = 120$

Oder mit Verdoppeln/Halbieren: $8 \cdot 15 = 4 \cdot 30 = 120$

❓ Frage: Berechne im Kopf: $96 : 8 = ?$

Lösung anzeigen

Zerlege: $96 : 8 = 80 : 8 + 16 : 8 = 10 + 2 = 12$

Oder frage: “8 mal wie viel ist 96?” → $8 \cdot 12 = 96$, also $96 : 8 = 12$

❓ Frage: Berechne im Kopf: $5 \cdot 99 = ?$

Lösung anzeigen

Nutze den Fast-Rund-Trick: $5 \cdot 99 = 5 \cdot 100 - 5 \cdot 1 = 500 - 5 = 495$

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Zusammenfassung

Mit diesen vier Tricks löst du die meisten Kopfrechenaufgaben:

1. Zerlegen: Teile grosse Zahlen in kleinere, rechne einzeln, addiere.
2. Verdoppeln und Halbieren: Mach aus unhandlichen Zahlen glatte Zahlen.
3. Fast-Rund-Trick: Nutze nahe Zehner oder Hunderter und korrigiere.
4. Umkehraufgabe: Wandle Divisionen in “Mal wie viel?”-Fragen um.

Je öfter du übst, desto schneller wirst du. Dein Gehirn wird diese Tricks bald automatisch anwenden – und du rechnest schneller als jeder Taschenrechner!