Das Distributivgesetz einfach erklärt

Stell dir vor, du gehst mit zwei Freunden Eis kaufen. Jeder von euch möchte eine Kugel Vanille für 1.20 CHF und eine Kugel Schoko für 1.30 CHF.

Wie rechnest du den Gesamtpreis aus?

Möglichkeit 1: Du rechnest zuerst, was eine Person bezahlt (1.20 CHF + 1.30 CHF = 2.50 CHF), und nimmst das dann mal 3.

Möglichkeit 2: Du rechnest 3 × 1.20 CHF für alle Vanillekugeln und 3 × 1.30 CHF für alle Schokokugeln und addierst dann.

Beide Wege führen zum gleichen Ergebnis – und genau das ist die Idee hinter dem Distributivgesetz! Es zeigt dir, dass du bei solchen Rechnungen flexibel sein kannst.

Was ist das Distributivgesetz?

Der Brückenschlag vom Eis zur Mathematik

Schauen wir uns das Eis-Beispiel nochmal genauer an und übersetzen es in Mathe:

Du hast 3 Personen, die jeweils (1.20 CHF + 1.30 CHF) bezahlen.

Als Rechnung geschrieben: $3 \cdot (1{,}20 + 1{,}30)$

Weg 1 – Klammer zuerst: $3 \cdot (1{,}20 + 1{,}30) = 3 \cdot 2{,}50 = 7{,}50$

Weg 2 – Ausmultiplizieren: $3 \cdot 1{,}20 + 3 \cdot 1{,}30 = 3{,}60 + 3{,}90 = 7{,}50$

Siehst du? Der Faktor 3 wird an beide Zahlen in der Klammer «verteilt». Das Wort «distribuieren» bedeutet nämlich «verteilen» – daher der Name Distributivgesetz.

Die offizielle Regel

DEFINITION

Das Distributivgesetz sagt:

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

In Worten: Ein Faktor vor einer Klammer wird mit jedem Summanden in der Klammer multipliziert.

Das funktioniert genauso mit Subtraktion:

$a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$

Was bedeuten die Buchstaben?

• $a$ ist der Faktor vor der Klammer – er wird verteilt
• $b$ und $c$ sind die Summanden in der Klammer – sie bekommen beide den Faktor ab
• Das Rechenzeichen zwischen $b$ und $c$ (Plus oder Minus) bleibt erhalten

Kopfkino: So stellst du es dir vor

Stell dir vor, der Faktor vor der Klammer ist ein Lieferant mit Paketen. Er muss an jede Zahl in der Klammer ein Paket liefern – niemand darf leer ausgehen!

Du kannst dir auch Pfeile vorstellen: Zeichne vom Faktor vor der Klammer einen Pfeil zu jeder Zahl innerhalb der Klammer. Jeder Pfeil bedeutet «multiplizieren».

$\underbrace{5}_{\text{Lieferant}} \cdot (\underbrace{3}_{\text{bekommt Paket}} + \underbrace{7}_{\text{bekommt Paket}})$

Der 5er-Lieferant bringt der 3 ein Paket ($5 \cdot 3$) und der 7 ein Paket ($5 \cdot 7$).

Schritt-für-Schritt-Anleitung

So gehst du beim Ausmultiplizieren vor:

1. Finde den Faktor, der vor der Klammer steht
2. Multipliziere diesen Faktor mit dem ersten Term in der Klammer
3. Schreibe das Rechenzeichen aus der Klammer (+ oder −) hin
4. Multipliziere den Faktor mit dem zweiten Term in der Klammer
5. Rechne das Ergebnis aus

Typische Fehler – darauf musst du achten!

• Vergiss niemanden: Der häufigste Fehler ist, nur die erste Zahl in der Klammer zu multiplizieren. Bei $4 \cdot (2 + 5)$ rechnen manche fälschlich $4 \cdot 2 + 5 = 13$ statt richtig $4 \cdot 2 + 4 \cdot 5 = 28$.

• Vorzeichen beachten: Bei Minus in der Klammer bleibt das Minus! $3 \cdot (8 - 2) = 3 \cdot 8 - 3 \cdot 2 = 24 - 6 = 18$

• Punkt vor Strich: Erst alle Multiplikationen ausrechnen, dann addieren oder subtrahieren.

Beispiele

Beispiel:

Beispiel 1: Einfaches Ausmultiplizieren

Berechne: $4 \cdot (6 + 3)$

Lösung:

Schritt 1: Der Faktor vor der Klammer ist 4.

Schritt 2: Multipliziere 4 mit jedem Summanden in der Klammer.

$4 \cdot (6 + 3) = 4 \cdot 6 + 4 \cdot 3$

Schritt 3: Rechne die einzelnen Produkte aus.

$= 24 + 12$

Schritt 4: Addiere.

$= 36$

Probe: $4 \cdot (6 + 3) = 4 \cdot 9 = 36$ ✓

Beispiel:

Beispiel 2: Mit Subtraktion und grösseren Zahlen

Berechne: $7 \cdot (15 - 8)$

Lösung:

Der Faktor 7 wird an beide Zahlen verteilt. Das Minus bleibt erhalten!

$7 \cdot (15 - 8) = 7 \cdot 15 - 7 \cdot 8$

$= 105 - 56$

$= 49$

Probe: $7 \cdot (15 - 8) = 7 \cdot 7 = 49$ ✓

Beispiel:

Beispiel 3: Textaufgabe – Clever im Kopf rechnen

Aufgabe: Berechne $6 \cdot 98$ im Kopf mithilfe des Distributivgesetzes.

Idee: 98 ist fast 100. Wir können schreiben: $98 = 100 - 2$

Lösung:

$6 \cdot 98 = 6 \cdot (100 - 2)$

Jetzt verteilen wir die 6:

$= 6 \cdot 100 - 6 \cdot 2$

$= 600 - 12$

$= 588$

Das ist der Trick: Mit dem Distributivgesetz kannst du «krumme» Zahlen in einfache Rechnungen zerlegen. Das hilft enorm beim Kopfrechnen!

Teste dein Wissen

❓ Frage: Berechne mithilfe des Distributivgesetzes: $5 \cdot (4 + 9)$

Lösung anzeigen

$5 \cdot (4 + 9) = 5 \cdot 4 + 5 \cdot 9 = 20 + 45 = 65$

❓ Frage: Berechne: $8 \cdot (12 - 5)$

Lösung anzeigen

$8 \cdot (12 - 5) = 8 \cdot 12 - 8 \cdot 5 = 96 - 40 = 56$

❓ Frage: Nutze das Distributivgesetz, um $4 \cdot 102$ einfach zu berechnen. (Tipp: $102 = 100 + 2$)

Lösung anzeigen

$4 \cdot 102 = 4 \cdot (100 + 2) = 4 \cdot 100 + 4 \cdot 2 = 400 + 8 = 408$

Zusammenfassung

Das Distributivgesetz ist ein mächtiges Werkzeug: Es erlaubt dir, einen Faktor auf alle Teile einer Klammer zu verteilen. Das macht schwierige Rechnungen oft viel einfacher – besonders beim Kopfrechnen.

Denk immer an den Lieferanten: Jeder in der Klammer bekommt sein Paket!