Vielecke verstehen – Von Dreiecken bis zum Zehneck

Stell dir vor, du baust mit Streichhölzern verschiedene geschlossene Figuren auf dem Tisch. Du legst drei Streichhölzer aneinander – fertig ist ein Dreieck. Mit vier Streichhölzern entsteht ein Viereck. Und was passiert, wenn du fünf, sechs oder sogar zehn Streichhölzer verwendest?

Genau solche Figuren begegnen dir überall: Verkehrsschilder, Bienenwaben, Fussballfelder, Stoppzeichen. Sie alle haben etwas gemeinsam – es sind geschlossene Figuren mit geraden Seiten. In der Mathematik haben diese Figuren einen besonderen Namen: Vielecke oder Polygone.

Was ist ein Vieleck?

Lass uns von deinem Streichholz-Experiment zur Mathematik wechseln. Jedes Mal, wenn du Streichhölzer zu einer geschlossenen Figur zusammenlegst, entstehen automatisch Ecken – nämlich dort, wo sich zwei Streichhölzer treffen.

Ein Vieleck ist also eine geschlossene Figur, die nur aus geraden Linien (Strecken) besteht. Die geraden Linien heissen Seiten, und die Punkte, wo sich zwei Seiten treffen, heissen Ecken.

DEFINITION

Vieleck (Polygon):
Ein Vieleck ist eine geschlossene, ebene Figur, die von mindestens drei geraden Strecken begrenzt wird.

• Die Strecken heissen Seiten.
• Die Punkte, an denen sich die Seiten treffen, heissen Ecken (oder Eckpunkte).
• Die Winkel im Inneren der Figur heissen Innenwinkel.

Wichtig: Die Anzahl der Ecken ist immer gleich der Anzahl der Seiten!

So kannst du dir Vielecke vorstellen

Stell dir vor, du spannst ein Gummiband um mehrere Nägel, die in ein Brett geschlagen sind. Das Gummiband bildet automatisch ein Vieleck – je nachdem, wie viele Nägel du verwendest:

• 3 Nägel → Dreieck (3 Ecken, 3 Seiten)
• 4 Nägel → Viereck (4 Ecken, 4 Seiten)
• 5 Nägel → Fünfeck (5 Ecken, 5 Seiten)
• und so weiter…

Das Praktische: Der Name verrät dir immer sofort, wie viele Ecken und Seiten die Figur hat!

Die Namen der Vielecke

In der Mathematik haben Vielecke spezielle Namen, die aus dem Griechischen oder Lateinischen stammen. Hier sind die wichtigsten:

Anzahl Ecken	Deutscher Name	Fachbegriff
3	Dreieck	Trigon
4	Viereck	Tetragon
5	Fünfeck	Pentagon
6	Sechseck	Hexagon
7	Siebeneck	Heptagon
8	Achteck	Oktagon
9	Neuneck	Nonagon
10	Zehneck	Dekagon
12	Zwölfeck	Dodekagon
$n$	$n$-Eck	$n$-Gon

Für ein beliebiges Vieleck mit $n$ Ecken sagen wir einfach „$n$-Eck”.

Regelmässige und unregelmässige Vielecke

Nicht alle Vielecke sehen gleich aus. Es gibt einen wichtigen Unterschied:

DEFINITION

Regelmässiges Vieleck:
Ein Vieleck heisst regelmässig, wenn alle Seiten gleich lang und alle Innenwinkel gleich gross sind.

Unregelmässiges Vieleck:
Ein Vieleck heisst unregelmässig, wenn die Seiten unterschiedlich lang oder die Winkel unterschiedlich gross sind.

Beispiele aus dem Alltag

• Regelmässig: Ein Stoppschild ist ein regelmässiges Achteck – alle 8 Seiten sind gleich lang.
• Regelmässig: Bienenwaben sind regelmässige Sechsecke.
• Unregelmässig: Die meisten Grundstücke sind unregelmässige Vierecke.

Konvexe und konkave Vielecke

Es gibt noch eine weitere Unterscheidung, die dir hilft, Vielecke zu beschreiben:

Ein konvexes Vieleck erkennst du daran, dass alle Ecken „nach aussen zeigen”. Wenn du ein Gummiband um die Figur spannen würdest, würde es überall anliegen.

Ein konkaves Vieleck hat mindestens eine Ecke, die „nach innen zeigt” – wie bei einem Stern oder einem Pfeil. Hier würde das Gummiband nicht überall anliegen.

Häufiger Fehler: Figuren verwechseln

Nicht jede Figur mit Ecken ist ein Vieleck! Damit eine Figur ein Vieleck ist, muss sie:

• geschlossen sein (kein offenes Ende)
• nur aus geraden Linien bestehen (keine Kurven)
• mindestens 3 Ecken haben

Ein Kreis ist also kein Vieleck (keine Ecken, keine geraden Seiten). Eine offene Zickzack-Linie ist auch kein Vieleck (nicht geschlossen).

Die Innenwinkelsumme

Hier kommt eine spannende Entdeckung: Egal wie „verzogen” ein Vieleck aussieht – die Summe aller Innenwinkel hängt nur von der Anzahl der Ecken ab!

DEFINITION

Innenwinkelsumme eines Vielecks:

$\text{Innenwinkelsumme} = (n - 2) \cdot 180°$

Dabei ist $n$ die Anzahl der Ecken.

Warum funktioniert das?

Du kannst jedes Vieleck in Dreiecke zerlegen, indem du von einer Ecke aus Linien zu allen anderen Ecken ziehst (ausser zu den Nachbarecken). Ein Viereck teilst du so in 2 Dreiecke, ein Fünfeck in 3 Dreiecke, und so weiter.

Da jedes Dreieck eine Winkelsumme von $180°$ hat, multiplizierst du einfach die Anzahl der Dreiecke mit $180°$.

Schritt-für-Schritt: Innenwinkelsumme berechnen

1. Zähle die Anzahl der Ecken ($n$).
2. Ziehe 2 ab: $n - 2$
3. Multipliziere das Ergebnis mit $180°$.

Beispiel für ein Sechseck ($n = 6$): $\text{Innenwinkelsumme} = (6 - 2) \cdot 180° = 4 \cdot 180° = 720°$

Achtung beim Rechnen:

Vergiss nicht, zuerst die Klammer $(n - 2)$ auszurechnen, bevor du mit $180°$ multiplizierst!

Falsch: $6 - 2 \cdot 180° = 6 - 360° = -354°$ ❌
Richtig: $(6 - 2) \cdot 180° = 4 \cdot 180° = 720°$ ✓

Beispiele

Beispiel:

Beispiel 1: Innenwinkelsumme eines Fünfecks

Wie gross ist die Innenwinkelsumme eines Fünfecks?

Lösung:

Ein Fünfeck hat $n = 5$ Ecken.

$\text{Innenwinkelsumme} = (n - 2) \cdot 180°$ $= (5 - 2) \cdot 180°$ $= 3 \cdot 180°$ $= 540°$

Die Innenwinkelsumme eines Fünfecks beträgt $540°$.

Beispiel:

Beispiel 2: Winkel im regelmässigen Achteck

Ein Stoppschild hat die Form eines regelmässigen Achtecks. Wie gross ist jeder einzelne Innenwinkel?

Lösung:

Schritt 1: Berechne die Innenwinkelsumme ($n = 8$): $\text{Innenwinkelsumme} = (8 - 2) \cdot 180° = 6 \cdot 180° = 1080°$

Schritt 2: Bei einem regelmässigen Achteck sind alle 8 Winkel gleich gross. Teile also durch 8: $\text{Ein Winkel} = \frac{1080°}{8} = 135°$

Jeder Innenwinkel des Stoppschilds misst $135°$.

Beispiel:

Beispiel 3: Wie viele Ecken hat das Vieleck?

Die Innenwinkelsumme eines Vielecks beträgt $1440°$. Um welches Vieleck handelt es sich?

Lösung:

Wir kennen die Formel: $\text{Innenwinkelsumme} = (n - 2) \cdot 180°$

Setze $1440°$ ein und löse nach $n$ auf: $1440° = (n - 2) \cdot 180°$

Teile beide Seiten durch $180°$: $\frac{1440°}{180°} = n - 2$ $8 = n - 2$

Addiere 2 auf beiden Seiten: $n = 10$

Es handelt sich um ein Zehneck (Dekagon).

Quiz

❓ Frage: Ein Siebeneck hat wie viele Seiten?

Lösung anzeigen

Ein Siebeneck hat 7 Seiten. (Die Anzahl der Seiten ist immer gleich der Anzahl der Ecken!)

❓ Frage: Berechne die Innenwinkelsumme eines Neunecks.

Lösung anzeigen

$\text{Innenwinkelsumme} = (9 - 2) \cdot 180° = 7 \cdot 180° = 1260°$

❓ Frage: Ein regelmässiges Sechseck hat eine Innenwinkelsumme von $720°$. Wie gross ist ein einzelner Innenwinkel?

Lösung anzeigen

Da alle 6 Winkel gleich gross sind: $\text{Ein Winkel} = \frac{720°}{6} = 120°$